-0,000 282 003 62 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 003 62(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 003 62(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 003 62| = 0,000 282 003 62


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 003 62.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 003 62 × 2 = 0 + 0,000 564 007 24;
  • 2) 0,000 564 007 24 × 2 = 0 + 0,001 128 014 48;
  • 3) 0,001 128 014 48 × 2 = 0 + 0,002 256 028 96;
  • 4) 0,002 256 028 96 × 2 = 0 + 0,004 512 057 92;
  • 5) 0,004 512 057 92 × 2 = 0 + 0,009 024 115 84;
  • 6) 0,009 024 115 84 × 2 = 0 + 0,018 048 231 68;
  • 7) 0,018 048 231 68 × 2 = 0 + 0,036 096 463 36;
  • 8) 0,036 096 463 36 × 2 = 0 + 0,072 192 926 72;
  • 9) 0,072 192 926 72 × 2 = 0 + 0,144 385 853 44;
  • 10) 0,144 385 853 44 × 2 = 0 + 0,288 771 706 88;
  • 11) 0,288 771 706 88 × 2 = 0 + 0,577 543 413 76;
  • 12) 0,577 543 413 76 × 2 = 1 + 0,155 086 827 52;
  • 13) 0,155 086 827 52 × 2 = 0 + 0,310 173 655 04;
  • 14) 0,310 173 655 04 × 2 = 0 + 0,620 347 310 08;
  • 15) 0,620 347 310 08 × 2 = 1 + 0,240 694 620 16;
  • 16) 0,240 694 620 16 × 2 = 0 + 0,481 389 240 32;
  • 17) 0,481 389 240 32 × 2 = 0 + 0,962 778 480 64;
  • 18) 0,962 778 480 64 × 2 = 1 + 0,925 556 961 28;
  • 19) 0,925 556 961 28 × 2 = 1 + 0,851 113 922 56;
  • 20) 0,851 113 922 56 × 2 = 1 + 0,702 227 845 12;
  • 21) 0,702 227 845 12 × 2 = 1 + 0,404 455 690 24;
  • 22) 0,404 455 690 24 × 2 = 0 + 0,808 911 380 48;
  • 23) 0,808 911 380 48 × 2 = 1 + 0,617 822 760 96;
  • 24) 0,617 822 760 96 × 2 = 1 + 0,235 645 521 92;
  • 25) 0,235 645 521 92 × 2 = 0 + 0,471 291 043 84;
  • 26) 0,471 291 043 84 × 2 = 0 + 0,942 582 087 68;
  • 27) 0,942 582 087 68 × 2 = 1 + 0,885 164 175 36;
  • 28) 0,885 164 175 36 × 2 = 1 + 0,770 328 350 72;
  • 29) 0,770 328 350 72 × 2 = 1 + 0,540 656 701 44;
  • 30) 0,540 656 701 44 × 2 = 1 + 0,081 313 402 88;
  • 31) 0,081 313 402 88 × 2 = 0 + 0,162 626 805 76;
  • 32) 0,162 626 805 76 × 2 = 0 + 0,325 253 611 52;
  • 33) 0,325 253 611 52 × 2 = 0 + 0,650 507 223 04;
  • 34) 0,650 507 223 04 × 2 = 1 + 0,301 014 446 08;
  • 35) 0,301 014 446 08 × 2 = 0 + 0,602 028 892 16;
  • 36) 0,602 028 892 16 × 2 = 1 + 0,204 057 784 32;
  • 37) 0,204 057 784 32 × 2 = 0 + 0,408 115 568 64;
  • 38) 0,408 115 568 64 × 2 = 0 + 0,816 231 137 28;
  • 39) 0,816 231 137 28 × 2 = 1 + 0,632 462 274 56;
  • 40) 0,632 462 274 56 × 2 = 1 + 0,264 924 549 12;
  • 41) 0,264 924 549 12 × 2 = 0 + 0,529 849 098 24;
  • 42) 0,529 849 098 24 × 2 = 1 + 0,059 698 196 48;
  • 43) 0,059 698 196 48 × 2 = 0 + 0,119 396 392 96;
  • 44) 0,119 396 392 96 × 2 = 0 + 0,238 792 785 92;
  • 45) 0,238 792 785 92 × 2 = 0 + 0,477 585 571 84;
  • 46) 0,477 585 571 84 × 2 = 0 + 0,955 171 143 68;
  • 47) 0,955 171 143 68 × 2 = 1 + 0,910 342 287 36;
  • 48) 0,910 342 287 36 × 2 = 1 + 0,820 684 574 72;
  • 49) 0,820 684 574 72 × 2 = 1 + 0,641 369 149 44;
  • 50) 0,641 369 149 44 × 2 = 1 + 0,282 738 298 88;
  • 51) 0,282 738 298 88 × 2 = 0 + 0,565 476 597 76;
  • 52) 0,565 476 597 76 × 2 = 1 + 0,130 953 195 52;
  • 53) 0,130 953 195 52 × 2 = 0 + 0,261 906 391 04;
  • 54) 0,261 906 391 04 × 2 = 0 + 0,523 812 782 08;
  • 55) 0,523 812 782 08 × 2 = 1 + 0,047 625 564 16;
  • 56) 0,047 625 564 16 × 2 = 0 + 0,095 251 128 32;
  • 57) 0,095 251 128 32 × 2 = 0 + 0,190 502 256 64;
  • 58) 0,190 502 256 64 × 2 = 0 + 0,381 004 513 28;
  • 59) 0,381 004 513 28 × 2 = 0 + 0,762 009 026 56;
  • 60) 0,762 009 026 56 × 2 = 1 + 0,524 018 053 12;
  • 61) 0,524 018 053 12 × 2 = 1 + 0,048 036 106 24;
  • 62) 0,048 036 106 24 × 2 = 0 + 0,096 072 212 48;
  • 63) 0,096 072 212 48 × 2 = 0 + 0,192 144 424 96;
  • 64) 0,192 144 424 96 × 2 = 0 + 0,384 288 849 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 003 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 003 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 003 62(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000 =

0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000


Numărul zecimal -0,000 282 003 62 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1100 0101 0011 0100 0011 1101 0010 0001 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 18 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100