-0,000 282 004 57 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 57(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 57(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 57| = 0,000 282 004 57


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 57.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 57 × 2 = 0 + 0,000 564 009 14;
  • 2) 0,000 564 009 14 × 2 = 0 + 0,001 128 018 28;
  • 3) 0,001 128 018 28 × 2 = 0 + 0,002 256 036 56;
  • 4) 0,002 256 036 56 × 2 = 0 + 0,004 512 073 12;
  • 5) 0,004 512 073 12 × 2 = 0 + 0,009 024 146 24;
  • 6) 0,009 024 146 24 × 2 = 0 + 0,018 048 292 48;
  • 7) 0,018 048 292 48 × 2 = 0 + 0,036 096 584 96;
  • 8) 0,036 096 584 96 × 2 = 0 + 0,072 193 169 92;
  • 9) 0,072 193 169 92 × 2 = 0 + 0,144 386 339 84;
  • 10) 0,144 386 339 84 × 2 = 0 + 0,288 772 679 68;
  • 11) 0,288 772 679 68 × 2 = 0 + 0,577 545 359 36;
  • 12) 0,577 545 359 36 × 2 = 1 + 0,155 090 718 72;
  • 13) 0,155 090 718 72 × 2 = 0 + 0,310 181 437 44;
  • 14) 0,310 181 437 44 × 2 = 0 + 0,620 362 874 88;
  • 15) 0,620 362 874 88 × 2 = 1 + 0,240 725 749 76;
  • 16) 0,240 725 749 76 × 2 = 0 + 0,481 451 499 52;
  • 17) 0,481 451 499 52 × 2 = 0 + 0,962 902 999 04;
  • 18) 0,962 902 999 04 × 2 = 1 + 0,925 805 998 08;
  • 19) 0,925 805 998 08 × 2 = 1 + 0,851 611 996 16;
  • 20) 0,851 611 996 16 × 2 = 1 + 0,703 223 992 32;
  • 21) 0,703 223 992 32 × 2 = 1 + 0,406 447 984 64;
  • 22) 0,406 447 984 64 × 2 = 0 + 0,812 895 969 28;
  • 23) 0,812 895 969 28 × 2 = 1 + 0,625 791 938 56;
  • 24) 0,625 791 938 56 × 2 = 1 + 0,251 583 877 12;
  • 25) 0,251 583 877 12 × 2 = 0 + 0,503 167 754 24;
  • 26) 0,503 167 754 24 × 2 = 1 + 0,006 335 508 48;
  • 27) 0,006 335 508 48 × 2 = 0 + 0,012 671 016 96;
  • 28) 0,012 671 016 96 × 2 = 0 + 0,025 342 033 92;
  • 29) 0,025 342 033 92 × 2 = 0 + 0,050 684 067 84;
  • 30) 0,050 684 067 84 × 2 = 0 + 0,101 368 135 68;
  • 31) 0,101 368 135 68 × 2 = 0 + 0,202 736 271 36;
  • 32) 0,202 736 271 36 × 2 = 0 + 0,405 472 542 72;
  • 33) 0,405 472 542 72 × 2 = 0 + 0,810 945 085 44;
  • 34) 0,810 945 085 44 × 2 = 1 + 0,621 890 170 88;
  • 35) 0,621 890 170 88 × 2 = 1 + 0,243 780 341 76;
  • 36) 0,243 780 341 76 × 2 = 0 + 0,487 560 683 52;
  • 37) 0,487 560 683 52 × 2 = 0 + 0,975 121 367 04;
  • 38) 0,975 121 367 04 × 2 = 1 + 0,950 242 734 08;
  • 39) 0,950 242 734 08 × 2 = 1 + 0,900 485 468 16;
  • 40) 0,900 485 468 16 × 2 = 1 + 0,800 970 936 32;
  • 41) 0,800 970 936 32 × 2 = 1 + 0,601 941 872 64;
  • 42) 0,601 941 872 64 × 2 = 1 + 0,203 883 745 28;
  • 43) 0,203 883 745 28 × 2 = 0 + 0,407 767 490 56;
  • 44) 0,407 767 490 56 × 2 = 0 + 0,815 534 981 12;
  • 45) 0,815 534 981 12 × 2 = 1 + 0,631 069 962 24;
  • 46) 0,631 069 962 24 × 2 = 1 + 0,262 139 924 48;
  • 47) 0,262 139 924 48 × 2 = 0 + 0,524 279 848 96;
  • 48) 0,524 279 848 96 × 2 = 1 + 0,048 559 697 92;
  • 49) 0,048 559 697 92 × 2 = 0 + 0,097 119 395 84;
  • 50) 0,097 119 395 84 × 2 = 0 + 0,194 238 791 68;
  • 51) 0,194 238 791 68 × 2 = 0 + 0,388 477 583 36;
  • 52) 0,388 477 583 36 × 2 = 0 + 0,776 955 166 72;
  • 53) 0,776 955 166 72 × 2 = 1 + 0,553 910 333 44;
  • 54) 0,553 910 333 44 × 2 = 1 + 0,107 820 666 88;
  • 55) 0,107 820 666 88 × 2 = 0 + 0,215 641 333 76;
  • 56) 0,215 641 333 76 × 2 = 0 + 0,431 282 667 52;
  • 57) 0,431 282 667 52 × 2 = 0 + 0,862 565 335 04;
  • 58) 0,862 565 335 04 × 2 = 1 + 0,725 130 670 08;
  • 59) 0,725 130 670 08 × 2 = 1 + 0,450 261 340 16;
  • 60) 0,450 261 340 16 × 2 = 0 + 0,900 522 680 32;
  • 61) 0,900 522 680 32 × 2 = 1 + 0,801 045 360 64;
  • 62) 0,801 045 360 64 × 2 = 1 + 0,602 090 721 28;
  • 63) 0,602 090 721 28 × 2 = 1 + 0,204 181 442 56;
  • 64) 0,204 181 442 56 × 2 = 0 + 0,408 362 885 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110 =

0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110


Numărul zecimal -0,000 282 004 57 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0000 0110 0111 1100 1101 0000 1100 0110 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 98 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100