-0,000 282 005 528 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 528(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 528(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 528| = 0,000 282 005 528


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 528.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 528 × 2 = 0 + 0,000 564 011 056;
  • 2) 0,000 564 011 056 × 2 = 0 + 0,001 128 022 112;
  • 3) 0,001 128 022 112 × 2 = 0 + 0,002 256 044 224;
  • 4) 0,002 256 044 224 × 2 = 0 + 0,004 512 088 448;
  • 5) 0,004 512 088 448 × 2 = 0 + 0,009 024 176 896;
  • 6) 0,009 024 176 896 × 2 = 0 + 0,018 048 353 792;
  • 7) 0,018 048 353 792 × 2 = 0 + 0,036 096 707 584;
  • 8) 0,036 096 707 584 × 2 = 0 + 0,072 193 415 168;
  • 9) 0,072 193 415 168 × 2 = 0 + 0,144 386 830 336;
  • 10) 0,144 386 830 336 × 2 = 0 + 0,288 773 660 672;
  • 11) 0,288 773 660 672 × 2 = 0 + 0,577 547 321 344;
  • 12) 0,577 547 321 344 × 2 = 1 + 0,155 094 642 688;
  • 13) 0,155 094 642 688 × 2 = 0 + 0,310 189 285 376;
  • 14) 0,310 189 285 376 × 2 = 0 + 0,620 378 570 752;
  • 15) 0,620 378 570 752 × 2 = 1 + 0,240 757 141 504;
  • 16) 0,240 757 141 504 × 2 = 0 + 0,481 514 283 008;
  • 17) 0,481 514 283 008 × 2 = 0 + 0,963 028 566 016;
  • 18) 0,963 028 566 016 × 2 = 1 + 0,926 057 132 032;
  • 19) 0,926 057 132 032 × 2 = 1 + 0,852 114 264 064;
  • 20) 0,852 114 264 064 × 2 = 1 + 0,704 228 528 128;
  • 21) 0,704 228 528 128 × 2 = 1 + 0,408 457 056 256;
  • 22) 0,408 457 056 256 × 2 = 0 + 0,816 914 112 512;
  • 23) 0,816 914 112 512 × 2 = 1 + 0,633 828 225 024;
  • 24) 0,633 828 225 024 × 2 = 1 + 0,267 656 450 048;
  • 25) 0,267 656 450 048 × 2 = 0 + 0,535 312 900 096;
  • 26) 0,535 312 900 096 × 2 = 1 + 0,070 625 800 192;
  • 27) 0,070 625 800 192 × 2 = 0 + 0,141 251 600 384;
  • 28) 0,141 251 600 384 × 2 = 0 + 0,282 503 200 768;
  • 29) 0,282 503 200 768 × 2 = 0 + 0,565 006 401 536;
  • 30) 0,565 006 401 536 × 2 = 1 + 0,130 012 803 072;
  • 31) 0,130 012 803 072 × 2 = 0 + 0,260 025 606 144;
  • 32) 0,260 025 606 144 × 2 = 0 + 0,520 051 212 288;
  • 33) 0,520 051 212 288 × 2 = 1 + 0,040 102 424 576;
  • 34) 0,040 102 424 576 × 2 = 0 + 0,080 204 849 152;
  • 35) 0,080 204 849 152 × 2 = 0 + 0,160 409 698 304;
  • 36) 0,160 409 698 304 × 2 = 0 + 0,320 819 396 608;
  • 37) 0,320 819 396 608 × 2 = 0 + 0,641 638 793 216;
  • 38) 0,641 638 793 216 × 2 = 1 + 0,283 277 586 432;
  • 39) 0,283 277 586 432 × 2 = 0 + 0,566 555 172 864;
  • 40) 0,566 555 172 864 × 2 = 1 + 0,133 110 345 728;
  • 41) 0,133 110 345 728 × 2 = 0 + 0,266 220 691 456;
  • 42) 0,266 220 691 456 × 2 = 0 + 0,532 441 382 912;
  • 43) 0,532 441 382 912 × 2 = 1 + 0,064 882 765 824;
  • 44) 0,064 882 765 824 × 2 = 0 + 0,129 765 531 648;
  • 45) 0,129 765 531 648 × 2 = 0 + 0,259 531 063 296;
  • 46) 0,259 531 063 296 × 2 = 0 + 0,519 062 126 592;
  • 47) 0,519 062 126 592 × 2 = 1 + 0,038 124 253 184;
  • 48) 0,038 124 253 184 × 2 = 0 + 0,076 248 506 368;
  • 49) 0,076 248 506 368 × 2 = 0 + 0,152 497 012 736;
  • 50) 0,152 497 012 736 × 2 = 0 + 0,304 994 025 472;
  • 51) 0,304 994 025 472 × 2 = 0 + 0,609 988 050 944;
  • 52) 0,609 988 050 944 × 2 = 1 + 0,219 976 101 888;
  • 53) 0,219 976 101 888 × 2 = 0 + 0,439 952 203 776;
  • 54) 0,439 952 203 776 × 2 = 0 + 0,879 904 407 552;
  • 55) 0,879 904 407 552 × 2 = 1 + 0,759 808 815 104;
  • 56) 0,759 808 815 104 × 2 = 1 + 0,519 617 630 208;
  • 57) 0,519 617 630 208 × 2 = 1 + 0,039 235 260 416;
  • 58) 0,039 235 260 416 × 2 = 0 + 0,078 470 520 832;
  • 59) 0,078 470 520 832 × 2 = 0 + 0,156 941 041 664;
  • 60) 0,156 941 041 664 × 2 = 0 + 0,313 882 083 328;
  • 61) 0,313 882 083 328 × 2 = 0 + 0,627 764 166 656;
  • 62) 0,627 764 166 656 × 2 = 1 + 0,255 528 333 312;
  • 63) 0,255 528 333 312 × 2 = 0 + 0,511 056 666 624;
  • 64) 0,511 056 666 624 × 2 = 1 + 0,022 113 333 248;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 528(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 528(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 528(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101 =

0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 528 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0101 0010 0010 0001 0011 1000 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 549 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100