-0,000 282 005 687 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 687(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 687(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 687| = 0,000 282 005 687


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 687.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 687 × 2 = 0 + 0,000 564 011 374;
  • 2) 0,000 564 011 374 × 2 = 0 + 0,001 128 022 748;
  • 3) 0,001 128 022 748 × 2 = 0 + 0,002 256 045 496;
  • 4) 0,002 256 045 496 × 2 = 0 + 0,004 512 090 992;
  • 5) 0,004 512 090 992 × 2 = 0 + 0,009 024 181 984;
  • 6) 0,009 024 181 984 × 2 = 0 + 0,018 048 363 968;
  • 7) 0,018 048 363 968 × 2 = 0 + 0,036 096 727 936;
  • 8) 0,036 096 727 936 × 2 = 0 + 0,072 193 455 872;
  • 9) 0,072 193 455 872 × 2 = 0 + 0,144 386 911 744;
  • 10) 0,144 386 911 744 × 2 = 0 + 0,288 773 823 488;
  • 11) 0,288 773 823 488 × 2 = 0 + 0,577 547 646 976;
  • 12) 0,577 547 646 976 × 2 = 1 + 0,155 095 293 952;
  • 13) 0,155 095 293 952 × 2 = 0 + 0,310 190 587 904;
  • 14) 0,310 190 587 904 × 2 = 0 + 0,620 381 175 808;
  • 15) 0,620 381 175 808 × 2 = 1 + 0,240 762 351 616;
  • 16) 0,240 762 351 616 × 2 = 0 + 0,481 524 703 232;
  • 17) 0,481 524 703 232 × 2 = 0 + 0,963 049 406 464;
  • 18) 0,963 049 406 464 × 2 = 1 + 0,926 098 812 928;
  • 19) 0,926 098 812 928 × 2 = 1 + 0,852 197 625 856;
  • 20) 0,852 197 625 856 × 2 = 1 + 0,704 395 251 712;
  • 21) 0,704 395 251 712 × 2 = 1 + 0,408 790 503 424;
  • 22) 0,408 790 503 424 × 2 = 0 + 0,817 581 006 848;
  • 23) 0,817 581 006 848 × 2 = 1 + 0,635 162 013 696;
  • 24) 0,635 162 013 696 × 2 = 1 + 0,270 324 027 392;
  • 25) 0,270 324 027 392 × 2 = 0 + 0,540 648 054 784;
  • 26) 0,540 648 054 784 × 2 = 1 + 0,081 296 109 568;
  • 27) 0,081 296 109 568 × 2 = 0 + 0,162 592 219 136;
  • 28) 0,162 592 219 136 × 2 = 0 + 0,325 184 438 272;
  • 29) 0,325 184 438 272 × 2 = 0 + 0,650 368 876 544;
  • 30) 0,650 368 876 544 × 2 = 1 + 0,300 737 753 088;
  • 31) 0,300 737 753 088 × 2 = 0 + 0,601 475 506 176;
  • 32) 0,601 475 506 176 × 2 = 1 + 0,202 951 012 352;
  • 33) 0,202 951 012 352 × 2 = 0 + 0,405 902 024 704;
  • 34) 0,405 902 024 704 × 2 = 0 + 0,811 804 049 408;
  • 35) 0,811 804 049 408 × 2 = 1 + 0,623 608 098 816;
  • 36) 0,623 608 098 816 × 2 = 1 + 0,247 216 197 632;
  • 37) 0,247 216 197 632 × 2 = 0 + 0,494 432 395 264;
  • 38) 0,494 432 395 264 × 2 = 0 + 0,988 864 790 528;
  • 39) 0,988 864 790 528 × 2 = 1 + 0,977 729 581 056;
  • 40) 0,977 729 581 056 × 2 = 1 + 0,955 459 162 112;
  • 41) 0,955 459 162 112 × 2 = 1 + 0,910 918 324 224;
  • 42) 0,910 918 324 224 × 2 = 1 + 0,821 836 648 448;
  • 43) 0,821 836 648 448 × 2 = 1 + 0,643 673 296 896;
  • 44) 0,643 673 296 896 × 2 = 1 + 0,287 346 593 792;
  • 45) 0,287 346 593 792 × 2 = 0 + 0,574 693 187 584;
  • 46) 0,574 693 187 584 × 2 = 1 + 0,149 386 375 168;
  • 47) 0,149 386 375 168 × 2 = 0 + 0,298 772 750 336;
  • 48) 0,298 772 750 336 × 2 = 0 + 0,597 545 500 672;
  • 49) 0,597 545 500 672 × 2 = 1 + 0,195 091 001 344;
  • 50) 0,195 091 001 344 × 2 = 0 + 0,390 182 002 688;
  • 51) 0,390 182 002 688 × 2 = 0 + 0,780 364 005 376;
  • 52) 0,780 364 005 376 × 2 = 1 + 0,560 728 010 752;
  • 53) 0,560 728 010 752 × 2 = 1 + 0,121 456 021 504;
  • 54) 0,121 456 021 504 × 2 = 0 + 0,242 912 043 008;
  • 55) 0,242 912 043 008 × 2 = 0 + 0,485 824 086 016;
  • 56) 0,485 824 086 016 × 2 = 0 + 0,971 648 172 032;
  • 57) 0,971 648 172 032 × 2 = 1 + 0,943 296 344 064;
  • 58) 0,943 296 344 064 × 2 = 1 + 0,886 592 688 128;
  • 59) 0,886 592 688 128 × 2 = 1 + 0,773 185 376 256;
  • 60) 0,773 185 376 256 × 2 = 1 + 0,546 370 752 512;
  • 61) 0,546 370 752 512 × 2 = 1 + 0,092 741 505 024;
  • 62) 0,092 741 505 024 × 2 = 0 + 0,185 483 010 048;
  • 63) 0,185 483 010 048 × 2 = 0 + 0,370 966 020 096;
  • 64) 0,370 966 020 096 × 2 = 0 + 0,741 932 040 192;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 687(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 687(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 687(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000 =

0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 687 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0011 1111 0100 1001 1000 1111 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 689 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100