-0,000 282 005 853 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 853 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 853 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 853 8| = 0,000 282 005 853 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 853 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 853 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 707 6;
  • 2) 0,000 564 011 707 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 415 2;
  • 3) 0,001 128 023 415 2 × 2 = 0 + 0,002 256 046 830 4;
  • 4) 0,002 256 046 830 4 × 2 = 0 + 0,004 512 093 660 8;
  • 5) 0,004 512 093 660 8 × 2 = 0 + 0,009 024 187 321 6;
  • 6) 0,009 024 187 321 6 × 2 = 0 + 0,018 048 374 643 2;
  • 7) 0,018 048 374 643 2 × 2 = 0 + 0,036 096 749 286 4;
  • 8) 0,036 096 749 286 4 × 2 = 0 + 0,072 193 498 572 8;
  • 9) 0,072 193 498 572 8 × 2 = 0 + 0,144 386 997 145 6;
  • 10) 0,144 386 997 145 6 × 2 = 0 + 0,288 773 994 291 2;
  • 11) 0,288 773 994 291 2 × 2 = 0 + 0,577 547 988 582 4;
  • 12) 0,577 547 988 582 4 × 2 = 1 + 0,155 095 977 164 8;
  • 13) 0,155 095 977 164 8 × 2 = 0 + 0,310 191 954 329 6;
  • 14) 0,310 191 954 329 6 × 2 = 0 + 0,620 383 908 659 2;
  • 15) 0,620 383 908 659 2 × 2 = 1 + 0,240 767 817 318 4;
  • 16) 0,240 767 817 318 4 × 2 = 0 + 0,481 535 634 636 8;
  • 17) 0,481 535 634 636 8 × 2 = 0 + 0,963 071 269 273 6;
  • 18) 0,963 071 269 273 6 × 2 = 1 + 0,926 142 538 547 2;
  • 19) 0,926 142 538 547 2 × 2 = 1 + 0,852 285 077 094 4;
  • 20) 0,852 285 077 094 4 × 2 = 1 + 0,704 570 154 188 8;
  • 21) 0,704 570 154 188 8 × 2 = 1 + 0,409 140 308 377 6;
  • 22) 0,409 140 308 377 6 × 2 = 0 + 0,818 280 616 755 2;
  • 23) 0,818 280 616 755 2 × 2 = 1 + 0,636 561 233 510 4;
  • 24) 0,636 561 233 510 4 × 2 = 1 + 0,273 122 467 020 8;
  • 25) 0,273 122 467 020 8 × 2 = 0 + 0,546 244 934 041 6;
  • 26) 0,546 244 934 041 6 × 2 = 1 + 0,092 489 868 083 2;
  • 27) 0,092 489 868 083 2 × 2 = 0 + 0,184 979 736 166 4;
  • 28) 0,184 979 736 166 4 × 2 = 0 + 0,369 959 472 332 8;
  • 29) 0,369 959 472 332 8 × 2 = 0 + 0,739 918 944 665 6;
  • 30) 0,739 918 944 665 6 × 2 = 1 + 0,479 837 889 331 2;
  • 31) 0,479 837 889 331 2 × 2 = 0 + 0,959 675 778 662 4;
  • 32) 0,959 675 778 662 4 × 2 = 1 + 0,919 351 557 324 8;
  • 33) 0,919 351 557 324 8 × 2 = 1 + 0,838 703 114 649 6;
  • 34) 0,838 703 114 649 6 × 2 = 1 + 0,677 406 229 299 2;
  • 35) 0,677 406 229 299 2 × 2 = 1 + 0,354 812 458 598 4;
  • 36) 0,354 812 458 598 4 × 2 = 0 + 0,709 624 917 196 8;
  • 37) 0,709 624 917 196 8 × 2 = 1 + 0,419 249 834 393 6;
  • 38) 0,419 249 834 393 6 × 2 = 0 + 0,838 499 668 787 2;
  • 39) 0,838 499 668 787 2 × 2 = 1 + 0,676 999 337 574 4;
  • 40) 0,676 999 337 574 4 × 2 = 1 + 0,353 998 675 148 8;
  • 41) 0,353 998 675 148 8 × 2 = 0 + 0,707 997 350 297 6;
  • 42) 0,707 997 350 297 6 × 2 = 1 + 0,415 994 700 595 2;
  • 43) 0,415 994 700 595 2 × 2 = 0 + 0,831 989 401 190 4;
  • 44) 0,831 989 401 190 4 × 2 = 1 + 0,663 978 802 380 8;
  • 45) 0,663 978 802 380 8 × 2 = 1 + 0,327 957 604 761 6;
  • 46) 0,327 957 604 761 6 × 2 = 0 + 0,655 915 209 523 2;
  • 47) 0,655 915 209 523 2 × 2 = 1 + 0,311 830 419 046 4;
  • 48) 0,311 830 419 046 4 × 2 = 0 + 0,623 660 838 092 8;
  • 49) 0,623 660 838 092 8 × 2 = 1 + 0,247 321 676 185 6;
  • 50) 0,247 321 676 185 6 × 2 = 0 + 0,494 643 352 371 2;
  • 51) 0,494 643 352 371 2 × 2 = 0 + 0,989 286 704 742 4;
  • 52) 0,989 286 704 742 4 × 2 = 1 + 0,978 573 409 484 8;
  • 53) 0,978 573 409 484 8 × 2 = 1 + 0,957 146 818 969 6;
  • 54) 0,957 146 818 969 6 × 2 = 1 + 0,914 293 637 939 2;
  • 55) 0,914 293 637 939 2 × 2 = 1 + 0,828 587 275 878 4;
  • 56) 0,828 587 275 878 4 × 2 = 1 + 0,657 174 551 756 8;
  • 57) 0,657 174 551 756 8 × 2 = 1 + 0,314 349 103 513 6;
  • 58) 0,314 349 103 513 6 × 2 = 0 + 0,628 698 207 027 2;
  • 59) 0,628 698 207 027 2 × 2 = 1 + 0,257 396 414 054 4;
  • 60) 0,257 396 414 054 4 × 2 = 0 + 0,514 792 828 108 8;
  • 61) 0,514 792 828 108 8 × 2 = 1 + 0,029 585 656 217 6;
  • 62) 0,029 585 656 217 6 × 2 = 0 + 0,059 171 312 435 2;
  • 63) 0,059 171 312 435 2 × 2 = 0 + 0,118 342 624 870 4;
  • 64) 0,118 342 624 870 4 × 2 = 0 + 0,236 685 249 740 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 853 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 853 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 853 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000 =

0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 853 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1011 0101 1010 1001 1111 1010 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 860 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100