-0,000 282 005 858 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 858 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 858 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 858 6| = 0,000 282 005 858 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 858 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 858 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 717 2;
  • 2) 0,000 564 011 717 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 434 4;
  • 3) 0,001 128 023 434 4 × 2 = 0 + 0,002 256 046 868 8;
  • 4) 0,002 256 046 868 8 × 2 = 0 + 0,004 512 093 737 6;
  • 5) 0,004 512 093 737 6 × 2 = 0 + 0,009 024 187 475 2;
  • 6) 0,009 024 187 475 2 × 2 = 0 + 0,018 048 374 950 4;
  • 7) 0,018 048 374 950 4 × 2 = 0 + 0,036 096 749 900 8;
  • 8) 0,036 096 749 900 8 × 2 = 0 + 0,072 193 499 801 6;
  • 9) 0,072 193 499 801 6 × 2 = 0 + 0,144 386 999 603 2;
  • 10) 0,144 386 999 603 2 × 2 = 0 + 0,288 773 999 206 4;
  • 11) 0,288 773 999 206 4 × 2 = 0 + 0,577 547 998 412 8;
  • 12) 0,577 547 998 412 8 × 2 = 1 + 0,155 095 996 825 6;
  • 13) 0,155 095 996 825 6 × 2 = 0 + 0,310 191 993 651 2;
  • 14) 0,310 191 993 651 2 × 2 = 0 + 0,620 383 987 302 4;
  • 15) 0,620 383 987 302 4 × 2 = 1 + 0,240 767 974 604 8;
  • 16) 0,240 767 974 604 8 × 2 = 0 + 0,481 535 949 209 6;
  • 17) 0,481 535 949 209 6 × 2 = 0 + 0,963 071 898 419 2;
  • 18) 0,963 071 898 419 2 × 2 = 1 + 0,926 143 796 838 4;
  • 19) 0,926 143 796 838 4 × 2 = 1 + 0,852 287 593 676 8;
  • 20) 0,852 287 593 676 8 × 2 = 1 + 0,704 575 187 353 6;
  • 21) 0,704 575 187 353 6 × 2 = 1 + 0,409 150 374 707 2;
  • 22) 0,409 150 374 707 2 × 2 = 0 + 0,818 300 749 414 4;
  • 23) 0,818 300 749 414 4 × 2 = 1 + 0,636 601 498 828 8;
  • 24) 0,636 601 498 828 8 × 2 = 1 + 0,273 202 997 657 6;
  • 25) 0,273 202 997 657 6 × 2 = 0 + 0,546 405 995 315 2;
  • 26) 0,546 405 995 315 2 × 2 = 1 + 0,092 811 990 630 4;
  • 27) 0,092 811 990 630 4 × 2 = 0 + 0,185 623 981 260 8;
  • 28) 0,185 623 981 260 8 × 2 = 0 + 0,371 247 962 521 6;
  • 29) 0,371 247 962 521 6 × 2 = 0 + 0,742 495 925 043 2;
  • 30) 0,742 495 925 043 2 × 2 = 1 + 0,484 991 850 086 4;
  • 31) 0,484 991 850 086 4 × 2 = 0 + 0,969 983 700 172 8;
  • 32) 0,969 983 700 172 8 × 2 = 1 + 0,939 967 400 345 6;
  • 33) 0,939 967 400 345 6 × 2 = 1 + 0,879 934 800 691 2;
  • 34) 0,879 934 800 691 2 × 2 = 1 + 0,759 869 601 382 4;
  • 35) 0,759 869 601 382 4 × 2 = 1 + 0,519 739 202 764 8;
  • 36) 0,519 739 202 764 8 × 2 = 1 + 0,039 478 405 529 6;
  • 37) 0,039 478 405 529 6 × 2 = 0 + 0,078 956 811 059 2;
  • 38) 0,078 956 811 059 2 × 2 = 0 + 0,157 913 622 118 4;
  • 39) 0,157 913 622 118 4 × 2 = 0 + 0,315 827 244 236 8;
  • 40) 0,315 827 244 236 8 × 2 = 0 + 0,631 654 488 473 6;
  • 41) 0,631 654 488 473 6 × 2 = 1 + 0,263 308 976 947 2;
  • 42) 0,263 308 976 947 2 × 2 = 0 + 0,526 617 953 894 4;
  • 43) 0,526 617 953 894 4 × 2 = 1 + 0,053 235 907 788 8;
  • 44) 0,053 235 907 788 8 × 2 = 0 + 0,106 471 815 577 6;
  • 45) 0,106 471 815 577 6 × 2 = 0 + 0,212 943 631 155 2;
  • 46) 0,212 943 631 155 2 × 2 = 0 + 0,425 887 262 310 4;
  • 47) 0,425 887 262 310 4 × 2 = 0 + 0,851 774 524 620 8;
  • 48) 0,851 774 524 620 8 × 2 = 1 + 0,703 549 049 241 6;
  • 49) 0,703 549 049 241 6 × 2 = 1 + 0,407 098 098 483 2;
  • 50) 0,407 098 098 483 2 × 2 = 0 + 0,814 196 196 966 4;
  • 51) 0,814 196 196 966 4 × 2 = 1 + 0,628 392 393 932 8;
  • 52) 0,628 392 393 932 8 × 2 = 1 + 0,256 784 787 865 6;
  • 53) 0,256 784 787 865 6 × 2 = 0 + 0,513 569 575 731 2;
  • 54) 0,513 569 575 731 2 × 2 = 1 + 0,027 139 151 462 4;
  • 55) 0,027 139 151 462 4 × 2 = 0 + 0,054 278 302 924 8;
  • 56) 0,054 278 302 924 8 × 2 = 0 + 0,108 556 605 849 6;
  • 57) 0,108 556 605 849 6 × 2 = 0 + 0,217 113 211 699 2;
  • 58) 0,217 113 211 699 2 × 2 = 0 + 0,434 226 423 398 4;
  • 59) 0,434 226 423 398 4 × 2 = 0 + 0,868 452 846 796 8;
  • 60) 0,868 452 846 796 8 × 2 = 1 + 0,736 905 693 593 6;
  • 61) 0,736 905 693 593 6 × 2 = 1 + 0,473 811 387 187 2;
  • 62) 0,473 811 387 187 2 × 2 = 0 + 0,947 622 774 374 4;
  • 63) 0,947 622 774 374 4 × 2 = 1 + 0,895 245 548 748 8;
  • 64) 0,895 245 548 748 8 × 2 = 1 + 0,790 491 097 497 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 858 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 858 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 858 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 858 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0000 1010 0001 1011 0100 0001 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 865 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100