-0,000 282 005 860 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 860 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 860 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 860 3| = 0,000 282 005 860 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 860 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 860 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 720 6;
  • 2) 0,000 564 011 720 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 441 2;
  • 3) 0,001 128 023 441 2 × 2 = 0 + 0,002 256 046 882 4;
  • 4) 0,002 256 046 882 4 × 2 = 0 + 0,004 512 093 764 8;
  • 5) 0,004 512 093 764 8 × 2 = 0 + 0,009 024 187 529 6;
  • 6) 0,009 024 187 529 6 × 2 = 0 + 0,018 048 375 059 2;
  • 7) 0,018 048 375 059 2 × 2 = 0 + 0,036 096 750 118 4;
  • 8) 0,036 096 750 118 4 × 2 = 0 + 0,072 193 500 236 8;
  • 9) 0,072 193 500 236 8 × 2 = 0 + 0,144 387 000 473 6;
  • 10) 0,144 387 000 473 6 × 2 = 0 + 0,288 774 000 947 2;
  • 11) 0,288 774 000 947 2 × 2 = 0 + 0,577 548 001 894 4;
  • 12) 0,577 548 001 894 4 × 2 = 1 + 0,155 096 003 788 8;
  • 13) 0,155 096 003 788 8 × 2 = 0 + 0,310 192 007 577 6;
  • 14) 0,310 192 007 577 6 × 2 = 0 + 0,620 384 015 155 2;
  • 15) 0,620 384 015 155 2 × 2 = 1 + 0,240 768 030 310 4;
  • 16) 0,240 768 030 310 4 × 2 = 0 + 0,481 536 060 620 8;
  • 17) 0,481 536 060 620 8 × 2 = 0 + 0,963 072 121 241 6;
  • 18) 0,963 072 121 241 6 × 2 = 1 + 0,926 144 242 483 2;
  • 19) 0,926 144 242 483 2 × 2 = 1 + 0,852 288 484 966 4;
  • 20) 0,852 288 484 966 4 × 2 = 1 + 0,704 576 969 932 8;
  • 21) 0,704 576 969 932 8 × 2 = 1 + 0,409 153 939 865 6;
  • 22) 0,409 153 939 865 6 × 2 = 0 + 0,818 307 879 731 2;
  • 23) 0,818 307 879 731 2 × 2 = 1 + 0,636 615 759 462 4;
  • 24) 0,636 615 759 462 4 × 2 = 1 + 0,273 231 518 924 8;
  • 25) 0,273 231 518 924 8 × 2 = 0 + 0,546 463 037 849 6;
  • 26) 0,546 463 037 849 6 × 2 = 1 + 0,092 926 075 699 2;
  • 27) 0,092 926 075 699 2 × 2 = 0 + 0,185 852 151 398 4;
  • 28) 0,185 852 151 398 4 × 2 = 0 + 0,371 704 302 796 8;
  • 29) 0,371 704 302 796 8 × 2 = 0 + 0,743 408 605 593 6;
  • 30) 0,743 408 605 593 6 × 2 = 1 + 0,486 817 211 187 2;
  • 31) 0,486 817 211 187 2 × 2 = 0 + 0,973 634 422 374 4;
  • 32) 0,973 634 422 374 4 × 2 = 1 + 0,947 268 844 748 8;
  • 33) 0,947 268 844 748 8 × 2 = 1 + 0,894 537 689 497 6;
  • 34) 0,894 537 689 497 6 × 2 = 1 + 0,789 075 378 995 2;
  • 35) 0,789 075 378 995 2 × 2 = 1 + 0,578 150 757 990 4;
  • 36) 0,578 150 757 990 4 × 2 = 1 + 0,156 301 515 980 8;
  • 37) 0,156 301 515 980 8 × 2 = 0 + 0,312 603 031 961 6;
  • 38) 0,312 603 031 961 6 × 2 = 0 + 0,625 206 063 923 2;
  • 39) 0,625 206 063 923 2 × 2 = 1 + 0,250 412 127 846 4;
  • 40) 0,250 412 127 846 4 × 2 = 0 + 0,500 824 255 692 8;
  • 41) 0,500 824 255 692 8 × 2 = 1 + 0,001 648 511 385 6;
  • 42) 0,001 648 511 385 6 × 2 = 0 + 0,003 297 022 771 2;
  • 43) 0,003 297 022 771 2 × 2 = 0 + 0,006 594 045 542 4;
  • 44) 0,006 594 045 542 4 × 2 = 0 + 0,013 188 091 084 8;
  • 45) 0,013 188 091 084 8 × 2 = 0 + 0,026 376 182 169 6;
  • 46) 0,026 376 182 169 6 × 2 = 0 + 0,052 752 364 339 2;
  • 47) 0,052 752 364 339 2 × 2 = 0 + 0,105 504 728 678 4;
  • 48) 0,105 504 728 678 4 × 2 = 0 + 0,211 009 457 356 8;
  • 49) 0,211 009 457 356 8 × 2 = 0 + 0,422 018 914 713 6;
  • 50) 0,422 018 914 713 6 × 2 = 0 + 0,844 037 829 427 2;
  • 51) 0,844 037 829 427 2 × 2 = 1 + 0,688 075 658 854 4;
  • 52) 0,688 075 658 854 4 × 2 = 1 + 0,376 151 317 708 8;
  • 53) 0,376 151 317 708 8 × 2 = 0 + 0,752 302 635 417 6;
  • 54) 0,752 302 635 417 6 × 2 = 1 + 0,504 605 270 835 2;
  • 55) 0,504 605 270 835 2 × 2 = 1 + 0,009 210 541 670 4;
  • 56) 0,009 210 541 670 4 × 2 = 0 + 0,018 421 083 340 8;
  • 57) 0,018 421 083 340 8 × 2 = 0 + 0,036 842 166 681 6;
  • 58) 0,036 842 166 681 6 × 2 = 0 + 0,073 684 333 363 2;
  • 59) 0,073 684 333 363 2 × 2 = 0 + 0,147 368 666 726 4;
  • 60) 0,147 368 666 726 4 × 2 = 0 + 0,294 737 333 452 8;
  • 61) 0,294 737 333 452 8 × 2 = 0 + 0,589 474 666 905 6;
  • 62) 0,589 474 666 905 6 × 2 = 1 + 0,178 949 333 811 2;
  • 63) 0,178 949 333 811 2 × 2 = 0 + 0,357 898 667 622 4;
  • 64) 0,357 898 667 622 4 × 2 = 0 + 0,715 797 335 244 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 860 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 860 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 860 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 860 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1000 0000 0011 0110 0000 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 869 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100