-0,000 282 005 860 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 860 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 860 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 860 4| = 0,000 282 005 860 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 860 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 860 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 720 8;
  • 2) 0,000 564 011 720 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 441 6;
  • 3) 0,001 128 023 441 6 × 2 = 0 + 0,002 256 046 883 2;
  • 4) 0,002 256 046 883 2 × 2 = 0 + 0,004 512 093 766 4;
  • 5) 0,004 512 093 766 4 × 2 = 0 + 0,009 024 187 532 8;
  • 6) 0,009 024 187 532 8 × 2 = 0 + 0,018 048 375 065 6;
  • 7) 0,018 048 375 065 6 × 2 = 0 + 0,036 096 750 131 2;
  • 8) 0,036 096 750 131 2 × 2 = 0 + 0,072 193 500 262 4;
  • 9) 0,072 193 500 262 4 × 2 = 0 + 0,144 387 000 524 8;
  • 10) 0,144 387 000 524 8 × 2 = 0 + 0,288 774 001 049 6;
  • 11) 0,288 774 001 049 6 × 2 = 0 + 0,577 548 002 099 2;
  • 12) 0,577 548 002 099 2 × 2 = 1 + 0,155 096 004 198 4;
  • 13) 0,155 096 004 198 4 × 2 = 0 + 0,310 192 008 396 8;
  • 14) 0,310 192 008 396 8 × 2 = 0 + 0,620 384 016 793 6;
  • 15) 0,620 384 016 793 6 × 2 = 1 + 0,240 768 033 587 2;
  • 16) 0,240 768 033 587 2 × 2 = 0 + 0,481 536 067 174 4;
  • 17) 0,481 536 067 174 4 × 2 = 0 + 0,963 072 134 348 8;
  • 18) 0,963 072 134 348 8 × 2 = 1 + 0,926 144 268 697 6;
  • 19) 0,926 144 268 697 6 × 2 = 1 + 0,852 288 537 395 2;
  • 20) 0,852 288 537 395 2 × 2 = 1 + 0,704 577 074 790 4;
  • 21) 0,704 577 074 790 4 × 2 = 1 + 0,409 154 149 580 8;
  • 22) 0,409 154 149 580 8 × 2 = 0 + 0,818 308 299 161 6;
  • 23) 0,818 308 299 161 6 × 2 = 1 + 0,636 616 598 323 2;
  • 24) 0,636 616 598 323 2 × 2 = 1 + 0,273 233 196 646 4;
  • 25) 0,273 233 196 646 4 × 2 = 0 + 0,546 466 393 292 8;
  • 26) 0,546 466 393 292 8 × 2 = 1 + 0,092 932 786 585 6;
  • 27) 0,092 932 786 585 6 × 2 = 0 + 0,185 865 573 171 2;
  • 28) 0,185 865 573 171 2 × 2 = 0 + 0,371 731 146 342 4;
  • 29) 0,371 731 146 342 4 × 2 = 0 + 0,743 462 292 684 8;
  • 30) 0,743 462 292 684 8 × 2 = 1 + 0,486 924 585 369 6;
  • 31) 0,486 924 585 369 6 × 2 = 0 + 0,973 849 170 739 2;
  • 32) 0,973 849 170 739 2 × 2 = 1 + 0,947 698 341 478 4;
  • 33) 0,947 698 341 478 4 × 2 = 1 + 0,895 396 682 956 8;
  • 34) 0,895 396 682 956 8 × 2 = 1 + 0,790 793 365 913 6;
  • 35) 0,790 793 365 913 6 × 2 = 1 + 0,581 586 731 827 2;
  • 36) 0,581 586 731 827 2 × 2 = 1 + 0,163 173 463 654 4;
  • 37) 0,163 173 463 654 4 × 2 = 0 + 0,326 346 927 308 8;
  • 38) 0,326 346 927 308 8 × 2 = 0 + 0,652 693 854 617 6;
  • 39) 0,652 693 854 617 6 × 2 = 1 + 0,305 387 709 235 2;
  • 40) 0,305 387 709 235 2 × 2 = 0 + 0,610 775 418 470 4;
  • 41) 0,610 775 418 470 4 × 2 = 1 + 0,221 550 836 940 8;
  • 42) 0,221 550 836 940 8 × 2 = 0 + 0,443 101 673 881 6;
  • 43) 0,443 101 673 881 6 × 2 = 0 + 0,886 203 347 763 2;
  • 44) 0,886 203 347 763 2 × 2 = 1 + 0,772 406 695 526 4;
  • 45) 0,772 406 695 526 4 × 2 = 1 + 0,544 813 391 052 8;
  • 46) 0,544 813 391 052 8 × 2 = 1 + 0,089 626 782 105 6;
  • 47) 0,089 626 782 105 6 × 2 = 0 + 0,179 253 564 211 2;
  • 48) 0,179 253 564 211 2 × 2 = 0 + 0,358 507 128 422 4;
  • 49) 0,358 507 128 422 4 × 2 = 0 + 0,717 014 256 844 8;
  • 50) 0,717 014 256 844 8 × 2 = 1 + 0,434 028 513 689 6;
  • 51) 0,434 028 513 689 6 × 2 = 0 + 0,868 057 027 379 2;
  • 52) 0,868 057 027 379 2 × 2 = 1 + 0,736 114 054 758 4;
  • 53) 0,736 114 054 758 4 × 2 = 1 + 0,472 228 109 516 8;
  • 54) 0,472 228 109 516 8 × 2 = 0 + 0,944 456 219 033 6;
  • 55) 0,944 456 219 033 6 × 2 = 1 + 0,888 912 438 067 2;
  • 56) 0,888 912 438 067 2 × 2 = 1 + 0,777 824 876 134 4;
  • 57) 0,777 824 876 134 4 × 2 = 1 + 0,555 649 752 268 8;
  • 58) 0,555 649 752 268 8 × 2 = 1 + 0,111 299 504 537 6;
  • 59) 0,111 299 504 537 6 × 2 = 0 + 0,222 599 009 075 2;
  • 60) 0,222 599 009 075 2 × 2 = 0 + 0,445 198 018 150 4;
  • 61) 0,445 198 018 150 4 × 2 = 0 + 0,890 396 036 300 8;
  • 62) 0,890 396 036 300 8 × 2 = 1 + 0,780 792 072 601 6;
  • 63) 0,780 792 072 601 6 × 2 = 1 + 0,561 584 145 203 2;
  • 64) 0,561 584 145 203 2 × 2 = 1 + 0,123 168 290 406 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 860 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 860 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 860 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 860 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 1001 1100 0101 1011 1100 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 859 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100