-0,000 282 005 866 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 866 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 866 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 866 7| = 0,000 282 005 866 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 866 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 866 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 733 4;
  • 2) 0,000 564 011 733 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 466 8;
  • 3) 0,001 128 023 466 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 933 6;
  • 4) 0,002 256 046 933 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 867 2;
  • 5) 0,004 512 093 867 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 734 4;
  • 6) 0,009 024 187 734 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 468 8;
  • 7) 0,018 048 375 468 8 × 2 = 0 + 0,036 096 750 937 6;
  • 8) 0,036 096 750 937 6 × 2 = 0 + 0,072 193 501 875 2;
  • 9) 0,072 193 501 875 2 × 2 = 0 + 0,144 387 003 750 4;
  • 10) 0,144 387 003 750 4 × 2 = 0 + 0,288 774 007 500 8;
  • 11) 0,288 774 007 500 8 × 2 = 0 + 0,577 548 015 001 6;
  • 12) 0,577 548 015 001 6 × 2 = 1 + 0,155 096 030 003 2;
  • 13) 0,155 096 030 003 2 × 2 = 0 + 0,310 192 060 006 4;
  • 14) 0,310 192 060 006 4 × 2 = 0 + 0,620 384 120 012 8;
  • 15) 0,620 384 120 012 8 × 2 = 1 + 0,240 768 240 025 6;
  • 16) 0,240 768 240 025 6 × 2 = 0 + 0,481 536 480 051 2;
  • 17) 0,481 536 480 051 2 × 2 = 0 + 0,963 072 960 102 4;
  • 18) 0,963 072 960 102 4 × 2 = 1 + 0,926 145 920 204 8;
  • 19) 0,926 145 920 204 8 × 2 = 1 + 0,852 291 840 409 6;
  • 20) 0,852 291 840 409 6 × 2 = 1 + 0,704 583 680 819 2;
  • 21) 0,704 583 680 819 2 × 2 = 1 + 0,409 167 361 638 4;
  • 22) 0,409 167 361 638 4 × 2 = 0 + 0,818 334 723 276 8;
  • 23) 0,818 334 723 276 8 × 2 = 1 + 0,636 669 446 553 6;
  • 24) 0,636 669 446 553 6 × 2 = 1 + 0,273 338 893 107 2;
  • 25) 0,273 338 893 107 2 × 2 = 0 + 0,546 677 786 214 4;
  • 26) 0,546 677 786 214 4 × 2 = 1 + 0,093 355 572 428 8;
  • 27) 0,093 355 572 428 8 × 2 = 0 + 0,186 711 144 857 6;
  • 28) 0,186 711 144 857 6 × 2 = 0 + 0,373 422 289 715 2;
  • 29) 0,373 422 289 715 2 × 2 = 0 + 0,746 844 579 430 4;
  • 30) 0,746 844 579 430 4 × 2 = 1 + 0,493 689 158 860 8;
  • 31) 0,493 689 158 860 8 × 2 = 0 + 0,987 378 317 721 6;
  • 32) 0,987 378 317 721 6 × 2 = 1 + 0,974 756 635 443 2;
  • 33) 0,974 756 635 443 2 × 2 = 1 + 0,949 513 270 886 4;
  • 34) 0,949 513 270 886 4 × 2 = 1 + 0,899 026 541 772 8;
  • 35) 0,899 026 541 772 8 × 2 = 1 + 0,798 053 083 545 6;
  • 36) 0,798 053 083 545 6 × 2 = 1 + 0,596 106 167 091 2;
  • 37) 0,596 106 167 091 2 × 2 = 1 + 0,192 212 334 182 4;
  • 38) 0,192 212 334 182 4 × 2 = 0 + 0,384 424 668 364 8;
  • 39) 0,384 424 668 364 8 × 2 = 0 + 0,768 849 336 729 6;
  • 40) 0,768 849 336 729 6 × 2 = 1 + 0,537 698 673 459 2;
  • 41) 0,537 698 673 459 2 × 2 = 1 + 0,075 397 346 918 4;
  • 42) 0,075 397 346 918 4 × 2 = 0 + 0,150 794 693 836 8;
  • 43) 0,150 794 693 836 8 × 2 = 0 + 0,301 589 387 673 6;
  • 44) 0,301 589 387 673 6 × 2 = 0 + 0,603 178 775 347 2;
  • 45) 0,603 178 775 347 2 × 2 = 1 + 0,206 357 550 694 4;
  • 46) 0,206 357 550 694 4 × 2 = 0 + 0,412 715 101 388 8;
  • 47) 0,412 715 101 388 8 × 2 = 0 + 0,825 430 202 777 6;
  • 48) 0,825 430 202 777 6 × 2 = 1 + 0,650 860 405 555 2;
  • 49) 0,650 860 405 555 2 × 2 = 1 + 0,301 720 811 110 4;
  • 50) 0,301 720 811 110 4 × 2 = 0 + 0,603 441 622 220 8;
  • 51) 0,603 441 622 220 8 × 2 = 1 + 0,206 883 244 441 6;
  • 52) 0,206 883 244 441 6 × 2 = 0 + 0,413 766 488 883 2;
  • 53) 0,413 766 488 883 2 × 2 = 0 + 0,827 532 977 766 4;
  • 54) 0,827 532 977 766 4 × 2 = 1 + 0,655 065 955 532 8;
  • 55) 0,655 065 955 532 8 × 2 = 1 + 0,310 131 911 065 6;
  • 56) 0,310 131 911 065 6 × 2 = 0 + 0,620 263 822 131 2;
  • 57) 0,620 263 822 131 2 × 2 = 1 + 0,240 527 644 262 4;
  • 58) 0,240 527 644 262 4 × 2 = 0 + 0,481 055 288 524 8;
  • 59) 0,481 055 288 524 8 × 2 = 0 + 0,962 110 577 049 6;
  • 60) 0,962 110 577 049 6 × 2 = 1 + 0,924 221 154 099 2;
  • 61) 0,924 221 154 099 2 × 2 = 1 + 0,848 442 308 198 4;
  • 62) 0,848 442 308 198 4 × 2 = 1 + 0,696 884 616 396 8;
  • 63) 0,696 884 616 396 8 × 2 = 1 + 0,393 769 232 793 6;
  • 64) 0,393 769 232 793 6 × 2 = 0 + 0,787 538 465 587 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 866 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 866 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 866 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 866 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 1000 1001 1010 0110 1001 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 860 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100