-0,000 282 005 871 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 871 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 871 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 871 3| = 0,000 282 005 871 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 871 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 871 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 742 6;
  • 2) 0,000 564 011 742 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 485 2;
  • 3) 0,001 128 023 485 2 × 2 = 0 + 0,002 256 046 970 4;
  • 4) 0,002 256 046 970 4 × 2 = 0 + 0,004 512 093 940 8;
  • 5) 0,004 512 093 940 8 × 2 = 0 + 0,009 024 187 881 6;
  • 6) 0,009 024 187 881 6 × 2 = 0 + 0,018 048 375 763 2;
  • 7) 0,018 048 375 763 2 × 2 = 0 + 0,036 096 751 526 4;
  • 8) 0,036 096 751 526 4 × 2 = 0 + 0,072 193 503 052 8;
  • 9) 0,072 193 503 052 8 × 2 = 0 + 0,144 387 006 105 6;
  • 10) 0,144 387 006 105 6 × 2 = 0 + 0,288 774 012 211 2;
  • 11) 0,288 774 012 211 2 × 2 = 0 + 0,577 548 024 422 4;
  • 12) 0,577 548 024 422 4 × 2 = 1 + 0,155 096 048 844 8;
  • 13) 0,155 096 048 844 8 × 2 = 0 + 0,310 192 097 689 6;
  • 14) 0,310 192 097 689 6 × 2 = 0 + 0,620 384 195 379 2;
  • 15) 0,620 384 195 379 2 × 2 = 1 + 0,240 768 390 758 4;
  • 16) 0,240 768 390 758 4 × 2 = 0 + 0,481 536 781 516 8;
  • 17) 0,481 536 781 516 8 × 2 = 0 + 0,963 073 563 033 6;
  • 18) 0,963 073 563 033 6 × 2 = 1 + 0,926 147 126 067 2;
  • 19) 0,926 147 126 067 2 × 2 = 1 + 0,852 294 252 134 4;
  • 20) 0,852 294 252 134 4 × 2 = 1 + 0,704 588 504 268 8;
  • 21) 0,704 588 504 268 8 × 2 = 1 + 0,409 177 008 537 6;
  • 22) 0,409 177 008 537 6 × 2 = 0 + 0,818 354 017 075 2;
  • 23) 0,818 354 017 075 2 × 2 = 1 + 0,636 708 034 150 4;
  • 24) 0,636 708 034 150 4 × 2 = 1 + 0,273 416 068 300 8;
  • 25) 0,273 416 068 300 8 × 2 = 0 + 0,546 832 136 601 6;
  • 26) 0,546 832 136 601 6 × 2 = 1 + 0,093 664 273 203 2;
  • 27) 0,093 664 273 203 2 × 2 = 0 + 0,187 328 546 406 4;
  • 28) 0,187 328 546 406 4 × 2 = 0 + 0,374 657 092 812 8;
  • 29) 0,374 657 092 812 8 × 2 = 0 + 0,749 314 185 625 6;
  • 30) 0,749 314 185 625 6 × 2 = 1 + 0,498 628 371 251 2;
  • 31) 0,498 628 371 251 2 × 2 = 0 + 0,997 256 742 502 4;
  • 32) 0,997 256 742 502 4 × 2 = 1 + 0,994 513 485 004 8;
  • 33) 0,994 513 485 004 8 × 2 = 1 + 0,989 026 970 009 6;
  • 34) 0,989 026 970 009 6 × 2 = 1 + 0,978 053 940 019 2;
  • 35) 0,978 053 940 019 2 × 2 = 1 + 0,956 107 880 038 4;
  • 36) 0,956 107 880 038 4 × 2 = 1 + 0,912 215 760 076 8;
  • 37) 0,912 215 760 076 8 × 2 = 1 + 0,824 431 520 153 6;
  • 38) 0,824 431 520 153 6 × 2 = 1 + 0,648 863 040 307 2;
  • 39) 0,648 863 040 307 2 × 2 = 1 + 0,297 726 080 614 4;
  • 40) 0,297 726 080 614 4 × 2 = 0 + 0,595 452 161 228 8;
  • 41) 0,595 452 161 228 8 × 2 = 1 + 0,190 904 322 457 6;
  • 42) 0,190 904 322 457 6 × 2 = 0 + 0,381 808 644 915 2;
  • 43) 0,381 808 644 915 2 × 2 = 0 + 0,763 617 289 830 4;
  • 44) 0,763 617 289 830 4 × 2 = 1 + 0,527 234 579 660 8;
  • 45) 0,527 234 579 660 8 × 2 = 1 + 0,054 469 159 321 6;
  • 46) 0,054 469 159 321 6 × 2 = 0 + 0,108 938 318 643 2;
  • 47) 0,108 938 318 643 2 × 2 = 0 + 0,217 876 637 286 4;
  • 48) 0,217 876 637 286 4 × 2 = 0 + 0,435 753 274 572 8;
  • 49) 0,435 753 274 572 8 × 2 = 0 + 0,871 506 549 145 6;
  • 50) 0,871 506 549 145 6 × 2 = 1 + 0,743 013 098 291 2;
  • 51) 0,743 013 098 291 2 × 2 = 1 + 0,486 026 196 582 4;
  • 52) 0,486 026 196 582 4 × 2 = 0 + 0,972 052 393 164 8;
  • 53) 0,972 052 393 164 8 × 2 = 1 + 0,944 104 786 329 6;
  • 54) 0,944 104 786 329 6 × 2 = 1 + 0,888 209 572 659 2;
  • 55) 0,888 209 572 659 2 × 2 = 1 + 0,776 419 145 318 4;
  • 56) 0,776 419 145 318 4 × 2 = 1 + 0,552 838 290 636 8;
  • 57) 0,552 838 290 636 8 × 2 = 1 + 0,105 676 581 273 6;
  • 58) 0,105 676 581 273 6 × 2 = 0 + 0,211 353 162 547 2;
  • 59) 0,211 353 162 547 2 × 2 = 0 + 0,422 706 325 094 4;
  • 60) 0,422 706 325 094 4 × 2 = 0 + 0,845 412 650 188 8;
  • 61) 0,845 412 650 188 8 × 2 = 1 + 0,690 825 300 377 6;
  • 62) 0,690 825 300 377 6 × 2 = 1 + 0,381 650 600 755 2;
  • 63) 0,381 650 600 755 2 × 2 = 0 + 0,763 301 201 510 4;
  • 64) 0,763 301 201 510 4 × 2 = 1 + 0,526 602 403 020 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 871 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 871 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 871 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 871 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1001 1000 0110 1111 1000 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 872 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100