-0,000 282 005 871 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 871 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 871 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 871 6| = 0,000 282 005 871 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 871 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 871 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 743 2;
  • 2) 0,000 564 011 743 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 486 4;
  • 3) 0,001 128 023 486 4 × 2 = 0 + 0,002 256 046 972 8;
  • 4) 0,002 256 046 972 8 × 2 = 0 + 0,004 512 093 945 6;
  • 5) 0,004 512 093 945 6 × 2 = 0 + 0,009 024 187 891 2;
  • 6) 0,009 024 187 891 2 × 2 = 0 + 0,018 048 375 782 4;
  • 7) 0,018 048 375 782 4 × 2 = 0 + 0,036 096 751 564 8;
  • 8) 0,036 096 751 564 8 × 2 = 0 + 0,072 193 503 129 6;
  • 9) 0,072 193 503 129 6 × 2 = 0 + 0,144 387 006 259 2;
  • 10) 0,144 387 006 259 2 × 2 = 0 + 0,288 774 012 518 4;
  • 11) 0,288 774 012 518 4 × 2 = 0 + 0,577 548 025 036 8;
  • 12) 0,577 548 025 036 8 × 2 = 1 + 0,155 096 050 073 6;
  • 13) 0,155 096 050 073 6 × 2 = 0 + 0,310 192 100 147 2;
  • 14) 0,310 192 100 147 2 × 2 = 0 + 0,620 384 200 294 4;
  • 15) 0,620 384 200 294 4 × 2 = 1 + 0,240 768 400 588 8;
  • 16) 0,240 768 400 588 8 × 2 = 0 + 0,481 536 801 177 6;
  • 17) 0,481 536 801 177 6 × 2 = 0 + 0,963 073 602 355 2;
  • 18) 0,963 073 602 355 2 × 2 = 1 + 0,926 147 204 710 4;
  • 19) 0,926 147 204 710 4 × 2 = 1 + 0,852 294 409 420 8;
  • 20) 0,852 294 409 420 8 × 2 = 1 + 0,704 588 818 841 6;
  • 21) 0,704 588 818 841 6 × 2 = 1 + 0,409 177 637 683 2;
  • 22) 0,409 177 637 683 2 × 2 = 0 + 0,818 355 275 366 4;
  • 23) 0,818 355 275 366 4 × 2 = 1 + 0,636 710 550 732 8;
  • 24) 0,636 710 550 732 8 × 2 = 1 + 0,273 421 101 465 6;
  • 25) 0,273 421 101 465 6 × 2 = 0 + 0,546 842 202 931 2;
  • 26) 0,546 842 202 931 2 × 2 = 1 + 0,093 684 405 862 4;
  • 27) 0,093 684 405 862 4 × 2 = 0 + 0,187 368 811 724 8;
  • 28) 0,187 368 811 724 8 × 2 = 0 + 0,374 737 623 449 6;
  • 29) 0,374 737 623 449 6 × 2 = 0 + 0,749 475 246 899 2;
  • 30) 0,749 475 246 899 2 × 2 = 1 + 0,498 950 493 798 4;
  • 31) 0,498 950 493 798 4 × 2 = 0 + 0,997 900 987 596 8;
  • 32) 0,997 900 987 596 8 × 2 = 1 + 0,995 801 975 193 6;
  • 33) 0,995 801 975 193 6 × 2 = 1 + 0,991 603 950 387 2;
  • 34) 0,991 603 950 387 2 × 2 = 1 + 0,983 207 900 774 4;
  • 35) 0,983 207 900 774 4 × 2 = 1 + 0,966 415 801 548 8;
  • 36) 0,966 415 801 548 8 × 2 = 1 + 0,932 831 603 097 6;
  • 37) 0,932 831 603 097 6 × 2 = 1 + 0,865 663 206 195 2;
  • 38) 0,865 663 206 195 2 × 2 = 1 + 0,731 326 412 390 4;
  • 39) 0,731 326 412 390 4 × 2 = 1 + 0,462 652 824 780 8;
  • 40) 0,462 652 824 780 8 × 2 = 0 + 0,925 305 649 561 6;
  • 41) 0,925 305 649 561 6 × 2 = 1 + 0,850 611 299 123 2;
  • 42) 0,850 611 299 123 2 × 2 = 1 + 0,701 222 598 246 4;
  • 43) 0,701 222 598 246 4 × 2 = 1 + 0,402 445 196 492 8;
  • 44) 0,402 445 196 492 8 × 2 = 0 + 0,804 890 392 985 6;
  • 45) 0,804 890 392 985 6 × 2 = 1 + 0,609 780 785 971 2;
  • 46) 0,609 780 785 971 2 × 2 = 1 + 0,219 561 571 942 4;
  • 47) 0,219 561 571 942 4 × 2 = 0 + 0,439 123 143 884 8;
  • 48) 0,439 123 143 884 8 × 2 = 0 + 0,878 246 287 769 6;
  • 49) 0,878 246 287 769 6 × 2 = 1 + 0,756 492 575 539 2;
  • 50) 0,756 492 575 539 2 × 2 = 1 + 0,512 985 151 078 4;
  • 51) 0,512 985 151 078 4 × 2 = 1 + 0,025 970 302 156 8;
  • 52) 0,025 970 302 156 8 × 2 = 0 + 0,051 940 604 313 6;
  • 53) 0,051 940 604 313 6 × 2 = 0 + 0,103 881 208 627 2;
  • 54) 0,103 881 208 627 2 × 2 = 0 + 0,207 762 417 254 4;
  • 55) 0,207 762 417 254 4 × 2 = 0 + 0,415 524 834 508 8;
  • 56) 0,415 524 834 508 8 × 2 = 0 + 0,831 049 669 017 6;
  • 57) 0,831 049 669 017 6 × 2 = 1 + 0,662 099 338 035 2;
  • 58) 0,662 099 338 035 2 × 2 = 1 + 0,324 198 676 070 4;
  • 59) 0,324 198 676 070 4 × 2 = 0 + 0,648 397 352 140 8;
  • 60) 0,648 397 352 140 8 × 2 = 1 + 0,296 794 704 281 6;
  • 61) 0,296 794 704 281 6 × 2 = 0 + 0,593 589 408 563 2;
  • 62) 0,593 589 408 563 2 × 2 = 1 + 0,187 178 817 126 4;
  • 63) 0,187 178 817 126 4 × 2 = 0 + 0,374 357 634 252 8;
  • 64) 0,374 357 634 252 8 × 2 = 0 + 0,748 715 268 505 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 871 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 871 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 871 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 871 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 1110 1100 1110 0000 1101 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 879 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100