-0,000 282 005 874 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 874 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 874 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 874 1| = 0,000 282 005 874 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 874 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 874 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 748 2;
  • 2) 0,000 564 011 748 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 496 4;
  • 3) 0,001 128 023 496 4 × 2 = 0 + 0,002 256 046 992 8;
  • 4) 0,002 256 046 992 8 × 2 = 0 + 0,004 512 093 985 6;
  • 5) 0,004 512 093 985 6 × 2 = 0 + 0,009 024 187 971 2;
  • 6) 0,009 024 187 971 2 × 2 = 0 + 0,018 048 375 942 4;
  • 7) 0,018 048 375 942 4 × 2 = 0 + 0,036 096 751 884 8;
  • 8) 0,036 096 751 884 8 × 2 = 0 + 0,072 193 503 769 6;
  • 9) 0,072 193 503 769 6 × 2 = 0 + 0,144 387 007 539 2;
  • 10) 0,144 387 007 539 2 × 2 = 0 + 0,288 774 015 078 4;
  • 11) 0,288 774 015 078 4 × 2 = 0 + 0,577 548 030 156 8;
  • 12) 0,577 548 030 156 8 × 2 = 1 + 0,155 096 060 313 6;
  • 13) 0,155 096 060 313 6 × 2 = 0 + 0,310 192 120 627 2;
  • 14) 0,310 192 120 627 2 × 2 = 0 + 0,620 384 241 254 4;
  • 15) 0,620 384 241 254 4 × 2 = 1 + 0,240 768 482 508 8;
  • 16) 0,240 768 482 508 8 × 2 = 0 + 0,481 536 965 017 6;
  • 17) 0,481 536 965 017 6 × 2 = 0 + 0,963 073 930 035 2;
  • 18) 0,963 073 930 035 2 × 2 = 1 + 0,926 147 860 070 4;
  • 19) 0,926 147 860 070 4 × 2 = 1 + 0,852 295 720 140 8;
  • 20) 0,852 295 720 140 8 × 2 = 1 + 0,704 591 440 281 6;
  • 21) 0,704 591 440 281 6 × 2 = 1 + 0,409 182 880 563 2;
  • 22) 0,409 182 880 563 2 × 2 = 0 + 0,818 365 761 126 4;
  • 23) 0,818 365 761 126 4 × 2 = 1 + 0,636 731 522 252 8;
  • 24) 0,636 731 522 252 8 × 2 = 1 + 0,273 463 044 505 6;
  • 25) 0,273 463 044 505 6 × 2 = 0 + 0,546 926 089 011 2;
  • 26) 0,546 926 089 011 2 × 2 = 1 + 0,093 852 178 022 4;
  • 27) 0,093 852 178 022 4 × 2 = 0 + 0,187 704 356 044 8;
  • 28) 0,187 704 356 044 8 × 2 = 0 + 0,375 408 712 089 6;
  • 29) 0,375 408 712 089 6 × 2 = 0 + 0,750 817 424 179 2;
  • 30) 0,750 817 424 179 2 × 2 = 1 + 0,501 634 848 358 4;
  • 31) 0,501 634 848 358 4 × 2 = 1 + 0,003 269 696 716 8;
  • 32) 0,003 269 696 716 8 × 2 = 0 + 0,006 539 393 433 6;
  • 33) 0,006 539 393 433 6 × 2 = 0 + 0,013 078 786 867 2;
  • 34) 0,013 078 786 867 2 × 2 = 0 + 0,026 157 573 734 4;
  • 35) 0,026 157 573 734 4 × 2 = 0 + 0,052 315 147 468 8;
  • 36) 0,052 315 147 468 8 × 2 = 0 + 0,104 630 294 937 6;
  • 37) 0,104 630 294 937 6 × 2 = 0 + 0,209 260 589 875 2;
  • 38) 0,209 260 589 875 2 × 2 = 0 + 0,418 521 179 750 4;
  • 39) 0,418 521 179 750 4 × 2 = 0 + 0,837 042 359 500 8;
  • 40) 0,837 042 359 500 8 × 2 = 1 + 0,674 084 719 001 6;
  • 41) 0,674 084 719 001 6 × 2 = 1 + 0,348 169 438 003 2;
  • 42) 0,348 169 438 003 2 × 2 = 0 + 0,696 338 876 006 4;
  • 43) 0,696 338 876 006 4 × 2 = 1 + 0,392 677 752 012 8;
  • 44) 0,392 677 752 012 8 × 2 = 0 + 0,785 355 504 025 6;
  • 45) 0,785 355 504 025 6 × 2 = 1 + 0,570 711 008 051 2;
  • 46) 0,570 711 008 051 2 × 2 = 1 + 0,141 422 016 102 4;
  • 47) 0,141 422 016 102 4 × 2 = 0 + 0,282 844 032 204 8;
  • 48) 0,282 844 032 204 8 × 2 = 0 + 0,565 688 064 409 6;
  • 49) 0,565 688 064 409 6 × 2 = 1 + 0,131 376 128 819 2;
  • 50) 0,131 376 128 819 2 × 2 = 0 + 0,262 752 257 638 4;
  • 51) 0,262 752 257 638 4 × 2 = 0 + 0,525 504 515 276 8;
  • 52) 0,525 504 515 276 8 × 2 = 1 + 0,051 009 030 553 6;
  • 53) 0,051 009 030 553 6 × 2 = 0 + 0,102 018 061 107 2;
  • 54) 0,102 018 061 107 2 × 2 = 0 + 0,204 036 122 214 4;
  • 55) 0,204 036 122 214 4 × 2 = 0 + 0,408 072 244 428 8;
  • 56) 0,408 072 244 428 8 × 2 = 0 + 0,816 144 488 857 6;
  • 57) 0,816 144 488 857 6 × 2 = 1 + 0,632 288 977 715 2;
  • 58) 0,632 288 977 715 2 × 2 = 1 + 0,264 577 955 430 4;
  • 59) 0,264 577 955 430 4 × 2 = 0 + 0,529 155 910 860 8;
  • 60) 0,529 155 910 860 8 × 2 = 1 + 0,058 311 821 721 6;
  • 61) 0,058 311 821 721 6 × 2 = 0 + 0,116 623 643 443 2;
  • 62) 0,116 623 643 443 2 × 2 = 0 + 0,233 247 286 886 4;
  • 63) 0,233 247 286 886 4 × 2 = 0 + 0,466 494 573 772 8;
  • 64) 0,466 494 573 772 8 × 2 = 0 + 0,932 989 147 545 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 874 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 874 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 874 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 874 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1010 1100 1001 0000 1101 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 876 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100