-0,000 282 005 876 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 876 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 876 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 876 1| = 0,000 282 005 876 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 876 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 876 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 752 2;
  • 2) 0,000 564 011 752 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 504 4;
  • 3) 0,001 128 023 504 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 008 8;
  • 4) 0,002 256 047 008 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 017 6;
  • 5) 0,004 512 094 017 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 035 2;
  • 6) 0,009 024 188 035 2 × 2 = 0 + 0,018 048 376 070 4;
  • 7) 0,018 048 376 070 4 × 2 = 0 + 0,036 096 752 140 8;
  • 8) 0,036 096 752 140 8 × 2 = 0 + 0,072 193 504 281 6;
  • 9) 0,072 193 504 281 6 × 2 = 0 + 0,144 387 008 563 2;
  • 10) 0,144 387 008 563 2 × 2 = 0 + 0,288 774 017 126 4;
  • 11) 0,288 774 017 126 4 × 2 = 0 + 0,577 548 034 252 8;
  • 12) 0,577 548 034 252 8 × 2 = 1 + 0,155 096 068 505 6;
  • 13) 0,155 096 068 505 6 × 2 = 0 + 0,310 192 137 011 2;
  • 14) 0,310 192 137 011 2 × 2 = 0 + 0,620 384 274 022 4;
  • 15) 0,620 384 274 022 4 × 2 = 1 + 0,240 768 548 044 8;
  • 16) 0,240 768 548 044 8 × 2 = 0 + 0,481 537 096 089 6;
  • 17) 0,481 537 096 089 6 × 2 = 0 + 0,963 074 192 179 2;
  • 18) 0,963 074 192 179 2 × 2 = 1 + 0,926 148 384 358 4;
  • 19) 0,926 148 384 358 4 × 2 = 1 + 0,852 296 768 716 8;
  • 20) 0,852 296 768 716 8 × 2 = 1 + 0,704 593 537 433 6;
  • 21) 0,704 593 537 433 6 × 2 = 1 + 0,409 187 074 867 2;
  • 22) 0,409 187 074 867 2 × 2 = 0 + 0,818 374 149 734 4;
  • 23) 0,818 374 149 734 4 × 2 = 1 + 0,636 748 299 468 8;
  • 24) 0,636 748 299 468 8 × 2 = 1 + 0,273 496 598 937 6;
  • 25) 0,273 496 598 937 6 × 2 = 0 + 0,546 993 197 875 2;
  • 26) 0,546 993 197 875 2 × 2 = 1 + 0,093 986 395 750 4;
  • 27) 0,093 986 395 750 4 × 2 = 0 + 0,187 972 791 500 8;
  • 28) 0,187 972 791 500 8 × 2 = 0 + 0,375 945 583 001 6;
  • 29) 0,375 945 583 001 6 × 2 = 0 + 0,751 891 166 003 2;
  • 30) 0,751 891 166 003 2 × 2 = 1 + 0,503 782 332 006 4;
  • 31) 0,503 782 332 006 4 × 2 = 1 + 0,007 564 664 012 8;
  • 32) 0,007 564 664 012 8 × 2 = 0 + 0,015 129 328 025 6;
  • 33) 0,015 129 328 025 6 × 2 = 0 + 0,030 258 656 051 2;
  • 34) 0,030 258 656 051 2 × 2 = 0 + 0,060 517 312 102 4;
  • 35) 0,060 517 312 102 4 × 2 = 0 + 0,121 034 624 204 8;
  • 36) 0,121 034 624 204 8 × 2 = 0 + 0,242 069 248 409 6;
  • 37) 0,242 069 248 409 6 × 2 = 0 + 0,484 138 496 819 2;
  • 38) 0,484 138 496 819 2 × 2 = 0 + 0,968 276 993 638 4;
  • 39) 0,968 276 993 638 4 × 2 = 1 + 0,936 553 987 276 8;
  • 40) 0,936 553 987 276 8 × 2 = 1 + 0,873 107 974 553 6;
  • 41) 0,873 107 974 553 6 × 2 = 1 + 0,746 215 949 107 2;
  • 42) 0,746 215 949 107 2 × 2 = 1 + 0,492 431 898 214 4;
  • 43) 0,492 431 898 214 4 × 2 = 0 + 0,984 863 796 428 8;
  • 44) 0,984 863 796 428 8 × 2 = 1 + 0,969 727 592 857 6;
  • 45) 0,969 727 592 857 6 × 2 = 1 + 0,939 455 185 715 2;
  • 46) 0,939 455 185 715 2 × 2 = 1 + 0,878 910 371 430 4;
  • 47) 0,878 910 371 430 4 × 2 = 1 + 0,757 820 742 860 8;
  • 48) 0,757 820 742 860 8 × 2 = 1 + 0,515 641 485 721 6;
  • 49) 0,515 641 485 721 6 × 2 = 1 + 0,031 282 971 443 2;
  • 50) 0,031 282 971 443 2 × 2 = 0 + 0,062 565 942 886 4;
  • 51) 0,062 565 942 886 4 × 2 = 0 + 0,125 131 885 772 8;
  • 52) 0,125 131 885 772 8 × 2 = 0 + 0,250 263 771 545 6;
  • 53) 0,250 263 771 545 6 × 2 = 0 + 0,500 527 543 091 2;
  • 54) 0,500 527 543 091 2 × 2 = 1 + 0,001 055 086 182 4;
  • 55) 0,001 055 086 182 4 × 2 = 0 + 0,002 110 172 364 8;
  • 56) 0,002 110 172 364 8 × 2 = 0 + 0,004 220 344 729 6;
  • 57) 0,004 220 344 729 6 × 2 = 0 + 0,008 440 689 459 2;
  • 58) 0,008 440 689 459 2 × 2 = 0 + 0,016 881 378 918 4;
  • 59) 0,016 881 378 918 4 × 2 = 0 + 0,033 762 757 836 8;
  • 60) 0,033 762 757 836 8 × 2 = 0 + 0,067 525 515 673 6;
  • 61) 0,067 525 515 673 6 × 2 = 0 + 0,135 051 031 347 2;
  • 62) 0,135 051 031 347 2 × 2 = 0 + 0,270 102 062 694 4;
  • 63) 0,270 102 062 694 4 × 2 = 0 + 0,540 204 125 388 8;
  • 64) 0,540 204 125 388 8 × 2 = 1 + 0,080 408 250 777 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 876 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 876 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 876 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 876 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1101 1111 1000 0100 0000 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 878 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100