-0,000 282 005 878 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 878 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 878 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 878 6| = 0,000 282 005 878 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 878 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 878 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 757 2;
  • 2) 0,000 564 011 757 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 514 4;
  • 3) 0,001 128 023 514 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 028 8;
  • 4) 0,002 256 047 028 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 057 6;
  • 5) 0,004 512 094 057 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 115 2;
  • 6) 0,009 024 188 115 2 × 2 = 0 + 0,018 048 376 230 4;
  • 7) 0,018 048 376 230 4 × 2 = 0 + 0,036 096 752 460 8;
  • 8) 0,036 096 752 460 8 × 2 = 0 + 0,072 193 504 921 6;
  • 9) 0,072 193 504 921 6 × 2 = 0 + 0,144 387 009 843 2;
  • 10) 0,144 387 009 843 2 × 2 = 0 + 0,288 774 019 686 4;
  • 11) 0,288 774 019 686 4 × 2 = 0 + 0,577 548 039 372 8;
  • 12) 0,577 548 039 372 8 × 2 = 1 + 0,155 096 078 745 6;
  • 13) 0,155 096 078 745 6 × 2 = 0 + 0,310 192 157 491 2;
  • 14) 0,310 192 157 491 2 × 2 = 0 + 0,620 384 314 982 4;
  • 15) 0,620 384 314 982 4 × 2 = 1 + 0,240 768 629 964 8;
  • 16) 0,240 768 629 964 8 × 2 = 0 + 0,481 537 259 929 6;
  • 17) 0,481 537 259 929 6 × 2 = 0 + 0,963 074 519 859 2;
  • 18) 0,963 074 519 859 2 × 2 = 1 + 0,926 149 039 718 4;
  • 19) 0,926 149 039 718 4 × 2 = 1 + 0,852 298 079 436 8;
  • 20) 0,852 298 079 436 8 × 2 = 1 + 0,704 596 158 873 6;
  • 21) 0,704 596 158 873 6 × 2 = 1 + 0,409 192 317 747 2;
  • 22) 0,409 192 317 747 2 × 2 = 0 + 0,818 384 635 494 4;
  • 23) 0,818 384 635 494 4 × 2 = 1 + 0,636 769 270 988 8;
  • 24) 0,636 769 270 988 8 × 2 = 1 + 0,273 538 541 977 6;
  • 25) 0,273 538 541 977 6 × 2 = 0 + 0,547 077 083 955 2;
  • 26) 0,547 077 083 955 2 × 2 = 1 + 0,094 154 167 910 4;
  • 27) 0,094 154 167 910 4 × 2 = 0 + 0,188 308 335 820 8;
  • 28) 0,188 308 335 820 8 × 2 = 0 + 0,376 616 671 641 6;
  • 29) 0,376 616 671 641 6 × 2 = 0 + 0,753 233 343 283 2;
  • 30) 0,753 233 343 283 2 × 2 = 1 + 0,506 466 686 566 4;
  • 31) 0,506 466 686 566 4 × 2 = 1 + 0,012 933 373 132 8;
  • 32) 0,012 933 373 132 8 × 2 = 0 + 0,025 866 746 265 6;
  • 33) 0,025 866 746 265 6 × 2 = 0 + 0,051 733 492 531 2;
  • 34) 0,051 733 492 531 2 × 2 = 0 + 0,103 466 985 062 4;
  • 35) 0,103 466 985 062 4 × 2 = 0 + 0,206 933 970 124 8;
  • 36) 0,206 933 970 124 8 × 2 = 0 + 0,413 867 940 249 6;
  • 37) 0,413 867 940 249 6 × 2 = 0 + 0,827 735 880 499 2;
  • 38) 0,827 735 880 499 2 × 2 = 1 + 0,655 471 760 998 4;
  • 39) 0,655 471 760 998 4 × 2 = 1 + 0,310 943 521 996 8;
  • 40) 0,310 943 521 996 8 × 2 = 0 + 0,621 887 043 993 6;
  • 41) 0,621 887 043 993 6 × 2 = 1 + 0,243 774 087 987 2;
  • 42) 0,243 774 087 987 2 × 2 = 0 + 0,487 548 175 974 4;
  • 43) 0,487 548 175 974 4 × 2 = 0 + 0,975 096 351 948 8;
  • 44) 0,975 096 351 948 8 × 2 = 1 + 0,950 192 703 897 6;
  • 45) 0,950 192 703 897 6 × 2 = 1 + 0,900 385 407 795 2;
  • 46) 0,900 385 407 795 2 × 2 = 1 + 0,800 770 815 590 4;
  • 47) 0,800 770 815 590 4 × 2 = 1 + 0,601 541 631 180 8;
  • 48) 0,601 541 631 180 8 × 2 = 1 + 0,203 083 262 361 6;
  • 49) 0,203 083 262 361 6 × 2 = 0 + 0,406 166 524 723 2;
  • 50) 0,406 166 524 723 2 × 2 = 0 + 0,812 333 049 446 4;
  • 51) 0,812 333 049 446 4 × 2 = 1 + 0,624 666 098 892 8;
  • 52) 0,624 666 098 892 8 × 2 = 1 + 0,249 332 197 785 6;
  • 53) 0,249 332 197 785 6 × 2 = 0 + 0,498 664 395 571 2;
  • 54) 0,498 664 395 571 2 × 2 = 0 + 0,997 328 791 142 4;
  • 55) 0,997 328 791 142 4 × 2 = 1 + 0,994 657 582 284 8;
  • 56) 0,994 657 582 284 8 × 2 = 1 + 0,989 315 164 569 6;
  • 57) 0,989 315 164 569 6 × 2 = 1 + 0,978 630 329 139 2;
  • 58) 0,978 630 329 139 2 × 2 = 1 + 0,957 260 658 278 4;
  • 59) 0,957 260 658 278 4 × 2 = 1 + 0,914 521 316 556 8;
  • 60) 0,914 521 316 556 8 × 2 = 1 + 0,829 042 633 113 6;
  • 61) 0,829 042 633 113 6 × 2 = 1 + 0,658 085 266 227 2;
  • 62) 0,658 085 266 227 2 × 2 = 1 + 0,316 170 532 454 4;
  • 63) 0,316 170 532 454 4 × 2 = 0 + 0,632 341 064 908 8;
  • 64) 0,632 341 064 908 8 × 2 = 1 + 0,264 682 129 817 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 878 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 878 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 878 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 878 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0110 1001 1111 0011 0011 1111 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 881 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100