-0,000 282 005 876 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 876 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 876 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 876 2| = 0,000 282 005 876 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 876 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 876 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 752 4;
  • 2) 0,000 564 011 752 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 504 8;
  • 3) 0,001 128 023 504 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 009 6;
  • 4) 0,002 256 047 009 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 019 2;
  • 5) 0,004 512 094 019 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 038 4;
  • 6) 0,009 024 188 038 4 × 2 = 0 + 0,018 048 376 076 8;
  • 7) 0,018 048 376 076 8 × 2 = 0 + 0,036 096 752 153 6;
  • 8) 0,036 096 752 153 6 × 2 = 0 + 0,072 193 504 307 2;
  • 9) 0,072 193 504 307 2 × 2 = 0 + 0,144 387 008 614 4;
  • 10) 0,144 387 008 614 4 × 2 = 0 + 0,288 774 017 228 8;
  • 11) 0,288 774 017 228 8 × 2 = 0 + 0,577 548 034 457 6;
  • 12) 0,577 548 034 457 6 × 2 = 1 + 0,155 096 068 915 2;
  • 13) 0,155 096 068 915 2 × 2 = 0 + 0,310 192 137 830 4;
  • 14) 0,310 192 137 830 4 × 2 = 0 + 0,620 384 275 660 8;
  • 15) 0,620 384 275 660 8 × 2 = 1 + 0,240 768 551 321 6;
  • 16) 0,240 768 551 321 6 × 2 = 0 + 0,481 537 102 643 2;
  • 17) 0,481 537 102 643 2 × 2 = 0 + 0,963 074 205 286 4;
  • 18) 0,963 074 205 286 4 × 2 = 1 + 0,926 148 410 572 8;
  • 19) 0,926 148 410 572 8 × 2 = 1 + 0,852 296 821 145 6;
  • 20) 0,852 296 821 145 6 × 2 = 1 + 0,704 593 642 291 2;
  • 21) 0,704 593 642 291 2 × 2 = 1 + 0,409 187 284 582 4;
  • 22) 0,409 187 284 582 4 × 2 = 0 + 0,818 374 569 164 8;
  • 23) 0,818 374 569 164 8 × 2 = 1 + 0,636 749 138 329 6;
  • 24) 0,636 749 138 329 6 × 2 = 1 + 0,273 498 276 659 2;
  • 25) 0,273 498 276 659 2 × 2 = 0 + 0,546 996 553 318 4;
  • 26) 0,546 996 553 318 4 × 2 = 1 + 0,093 993 106 636 8;
  • 27) 0,093 993 106 636 8 × 2 = 0 + 0,187 986 213 273 6;
  • 28) 0,187 986 213 273 6 × 2 = 0 + 0,375 972 426 547 2;
  • 29) 0,375 972 426 547 2 × 2 = 0 + 0,751 944 853 094 4;
  • 30) 0,751 944 853 094 4 × 2 = 1 + 0,503 889 706 188 8;
  • 31) 0,503 889 706 188 8 × 2 = 1 + 0,007 779 412 377 6;
  • 32) 0,007 779 412 377 6 × 2 = 0 + 0,015 558 824 755 2;
  • 33) 0,015 558 824 755 2 × 2 = 0 + 0,031 117 649 510 4;
  • 34) 0,031 117 649 510 4 × 2 = 0 + 0,062 235 299 020 8;
  • 35) 0,062 235 299 020 8 × 2 = 0 + 0,124 470 598 041 6;
  • 36) 0,124 470 598 041 6 × 2 = 0 + 0,248 941 196 083 2;
  • 37) 0,248 941 196 083 2 × 2 = 0 + 0,497 882 392 166 4;
  • 38) 0,497 882 392 166 4 × 2 = 0 + 0,995 764 784 332 8;
  • 39) 0,995 764 784 332 8 × 2 = 1 + 0,991 529 568 665 6;
  • 40) 0,991 529 568 665 6 × 2 = 1 + 0,983 059 137 331 2;
  • 41) 0,983 059 137 331 2 × 2 = 1 + 0,966 118 274 662 4;
  • 42) 0,966 118 274 662 4 × 2 = 1 + 0,932 236 549 324 8;
  • 43) 0,932 236 549 324 8 × 2 = 1 + 0,864 473 098 649 6;
  • 44) 0,864 473 098 649 6 × 2 = 1 + 0,728 946 197 299 2;
  • 45) 0,728 946 197 299 2 × 2 = 1 + 0,457 892 394 598 4;
  • 46) 0,457 892 394 598 4 × 2 = 0 + 0,915 784 789 196 8;
  • 47) 0,915 784 789 196 8 × 2 = 1 + 0,831 569 578 393 6;
  • 48) 0,831 569 578 393 6 × 2 = 1 + 0,663 139 156 787 2;
  • 49) 0,663 139 156 787 2 × 2 = 1 + 0,326 278 313 574 4;
  • 50) 0,326 278 313 574 4 × 2 = 0 + 0,652 556 627 148 8;
  • 51) 0,652 556 627 148 8 × 2 = 1 + 0,305 113 254 297 6;
  • 52) 0,305 113 254 297 6 × 2 = 0 + 0,610 226 508 595 2;
  • 53) 0,610 226 508 595 2 × 2 = 1 + 0,220 453 017 190 4;
  • 54) 0,220 453 017 190 4 × 2 = 0 + 0,440 906 034 380 8;
  • 55) 0,440 906 034 380 8 × 2 = 0 + 0,881 812 068 761 6;
  • 56) 0,881 812 068 761 6 × 2 = 1 + 0,763 624 137 523 2;
  • 57) 0,763 624 137 523 2 × 2 = 1 + 0,527 248 275 046 4;
  • 58) 0,527 248 275 046 4 × 2 = 1 + 0,054 496 550 092 8;
  • 59) 0,054 496 550 092 8 × 2 = 0 + 0,108 993 100 185 6;
  • 60) 0,108 993 100 185 6 × 2 = 0 + 0,217 986 200 371 2;
  • 61) 0,217 986 200 371 2 × 2 = 0 + 0,435 972 400 742 4;
  • 62) 0,435 972 400 742 4 × 2 = 0 + 0,871 944 801 484 8;
  • 63) 0,871 944 801 484 8 × 2 = 1 + 0,743 889 602 969 6;
  • 64) 0,743 889 602 969 6 × 2 = 1 + 0,487 779 205 939 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 876 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 876 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 876 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 876 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0011 1111 1011 1010 1001 1100 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 877 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100