-0,000 282 005 877 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 877 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 877 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 877 8| = 0,000 282 005 877 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 877 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 877 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 755 6;
  • 2) 0,000 564 011 755 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 511 2;
  • 3) 0,001 128 023 511 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 022 4;
  • 4) 0,002 256 047 022 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 044 8;
  • 5) 0,004 512 094 044 8 × 2 = 0 + 0,009 024 188 089 6;
  • 6) 0,009 024 188 089 6 × 2 = 0 + 0,018 048 376 179 2;
  • 7) 0,018 048 376 179 2 × 2 = 0 + 0,036 096 752 358 4;
  • 8) 0,036 096 752 358 4 × 2 = 0 + 0,072 193 504 716 8;
  • 9) 0,072 193 504 716 8 × 2 = 0 + 0,144 387 009 433 6;
  • 10) 0,144 387 009 433 6 × 2 = 0 + 0,288 774 018 867 2;
  • 11) 0,288 774 018 867 2 × 2 = 0 + 0,577 548 037 734 4;
  • 12) 0,577 548 037 734 4 × 2 = 1 + 0,155 096 075 468 8;
  • 13) 0,155 096 075 468 8 × 2 = 0 + 0,310 192 150 937 6;
  • 14) 0,310 192 150 937 6 × 2 = 0 + 0,620 384 301 875 2;
  • 15) 0,620 384 301 875 2 × 2 = 1 + 0,240 768 603 750 4;
  • 16) 0,240 768 603 750 4 × 2 = 0 + 0,481 537 207 500 8;
  • 17) 0,481 537 207 500 8 × 2 = 0 + 0,963 074 415 001 6;
  • 18) 0,963 074 415 001 6 × 2 = 1 + 0,926 148 830 003 2;
  • 19) 0,926 148 830 003 2 × 2 = 1 + 0,852 297 660 006 4;
  • 20) 0,852 297 660 006 4 × 2 = 1 + 0,704 595 320 012 8;
  • 21) 0,704 595 320 012 8 × 2 = 1 + 0,409 190 640 025 6;
  • 22) 0,409 190 640 025 6 × 2 = 0 + 0,818 381 280 051 2;
  • 23) 0,818 381 280 051 2 × 2 = 1 + 0,636 762 560 102 4;
  • 24) 0,636 762 560 102 4 × 2 = 1 + 0,273 525 120 204 8;
  • 25) 0,273 525 120 204 8 × 2 = 0 + 0,547 050 240 409 6;
  • 26) 0,547 050 240 409 6 × 2 = 1 + 0,094 100 480 819 2;
  • 27) 0,094 100 480 819 2 × 2 = 0 + 0,188 200 961 638 4;
  • 28) 0,188 200 961 638 4 × 2 = 0 + 0,376 401 923 276 8;
  • 29) 0,376 401 923 276 8 × 2 = 0 + 0,752 803 846 553 6;
  • 30) 0,752 803 846 553 6 × 2 = 1 + 0,505 607 693 107 2;
  • 31) 0,505 607 693 107 2 × 2 = 1 + 0,011 215 386 214 4;
  • 32) 0,011 215 386 214 4 × 2 = 0 + 0,022 430 772 428 8;
  • 33) 0,022 430 772 428 8 × 2 = 0 + 0,044 861 544 857 6;
  • 34) 0,044 861 544 857 6 × 2 = 0 + 0,089 723 089 715 2;
  • 35) 0,089 723 089 715 2 × 2 = 0 + 0,179 446 179 430 4;
  • 36) 0,179 446 179 430 4 × 2 = 0 + 0,358 892 358 860 8;
  • 37) 0,358 892 358 860 8 × 2 = 0 + 0,717 784 717 721 6;
  • 38) 0,717 784 717 721 6 × 2 = 1 + 0,435 569 435 443 2;
  • 39) 0,435 569 435 443 2 × 2 = 0 + 0,871 138 870 886 4;
  • 40) 0,871 138 870 886 4 × 2 = 1 + 0,742 277 741 772 8;
  • 41) 0,742 277 741 772 8 × 2 = 1 + 0,484 555 483 545 6;
  • 42) 0,484 555 483 545 6 × 2 = 0 + 0,969 110 967 091 2;
  • 43) 0,969 110 967 091 2 × 2 = 1 + 0,938 221 934 182 4;
  • 44) 0,938 221 934 182 4 × 2 = 1 + 0,876 443 868 364 8;
  • 45) 0,876 443 868 364 8 × 2 = 1 + 0,752 887 736 729 6;
  • 46) 0,752 887 736 729 6 × 2 = 1 + 0,505 775 473 459 2;
  • 47) 0,505 775 473 459 2 × 2 = 1 + 0,011 550 946 918 4;
  • 48) 0,011 550 946 918 4 × 2 = 0 + 0,023 101 893 836 8;
  • 49) 0,023 101 893 836 8 × 2 = 0 + 0,046 203 787 673 6;
  • 50) 0,046 203 787 673 6 × 2 = 0 + 0,092 407 575 347 2;
  • 51) 0,092 407 575 347 2 × 2 = 0 + 0,184 815 150 694 4;
  • 52) 0,184 815 150 694 4 × 2 = 0 + 0,369 630 301 388 8;
  • 53) 0,369 630 301 388 8 × 2 = 0 + 0,739 260 602 777 6;
  • 54) 0,739 260 602 777 6 × 2 = 1 + 0,478 521 205 555 2;
  • 55) 0,478 521 205 555 2 × 2 = 0 + 0,957 042 411 110 4;
  • 56) 0,957 042 411 110 4 × 2 = 1 + 0,914 084 822 220 8;
  • 57) 0,914 084 822 220 8 × 2 = 1 + 0,828 169 644 441 6;
  • 58) 0,828 169 644 441 6 × 2 = 1 + 0,656 339 288 883 2;
  • 59) 0,656 339 288 883 2 × 2 = 1 + 0,312 678 577 766 4;
  • 60) 0,312 678 577 766 4 × 2 = 0 + 0,625 357 155 532 8;
  • 61) 0,625 357 155 532 8 × 2 = 1 + 0,250 714 311 065 6;
  • 62) 0,250 714 311 065 6 × 2 = 0 + 0,501 428 622 131 2;
  • 63) 0,501 428 622 131 2 × 2 = 1 + 0,002 857 244 262 4;
  • 64) 0,002 857 244 262 4 × 2 = 0 + 0,005 714 488 524 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 877 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 877 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 877 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 877 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0101 1011 1110 0000 0101 1110 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 884 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100