-0,000 282 005 877 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 877 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 877 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 877 1| = 0,000 282 005 877 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 877 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 877 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 754 2;
  • 2) 0,000 564 011 754 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 508 4;
  • 3) 0,001 128 023 508 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 016 8;
  • 4) 0,002 256 047 016 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 033 6;
  • 5) 0,004 512 094 033 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 067 2;
  • 6) 0,009 024 188 067 2 × 2 = 0 + 0,018 048 376 134 4;
  • 7) 0,018 048 376 134 4 × 2 = 0 + 0,036 096 752 268 8;
  • 8) 0,036 096 752 268 8 × 2 = 0 + 0,072 193 504 537 6;
  • 9) 0,072 193 504 537 6 × 2 = 0 + 0,144 387 009 075 2;
  • 10) 0,144 387 009 075 2 × 2 = 0 + 0,288 774 018 150 4;
  • 11) 0,288 774 018 150 4 × 2 = 0 + 0,577 548 036 300 8;
  • 12) 0,577 548 036 300 8 × 2 = 1 + 0,155 096 072 601 6;
  • 13) 0,155 096 072 601 6 × 2 = 0 + 0,310 192 145 203 2;
  • 14) 0,310 192 145 203 2 × 2 = 0 + 0,620 384 290 406 4;
  • 15) 0,620 384 290 406 4 × 2 = 1 + 0,240 768 580 812 8;
  • 16) 0,240 768 580 812 8 × 2 = 0 + 0,481 537 161 625 6;
  • 17) 0,481 537 161 625 6 × 2 = 0 + 0,963 074 323 251 2;
  • 18) 0,963 074 323 251 2 × 2 = 1 + 0,926 148 646 502 4;
  • 19) 0,926 148 646 502 4 × 2 = 1 + 0,852 297 293 004 8;
  • 20) 0,852 297 293 004 8 × 2 = 1 + 0,704 594 586 009 6;
  • 21) 0,704 594 586 009 6 × 2 = 1 + 0,409 189 172 019 2;
  • 22) 0,409 189 172 019 2 × 2 = 0 + 0,818 378 344 038 4;
  • 23) 0,818 378 344 038 4 × 2 = 1 + 0,636 756 688 076 8;
  • 24) 0,636 756 688 076 8 × 2 = 1 + 0,273 513 376 153 6;
  • 25) 0,273 513 376 153 6 × 2 = 0 + 0,547 026 752 307 2;
  • 26) 0,547 026 752 307 2 × 2 = 1 + 0,094 053 504 614 4;
  • 27) 0,094 053 504 614 4 × 2 = 0 + 0,188 107 009 228 8;
  • 28) 0,188 107 009 228 8 × 2 = 0 + 0,376 214 018 457 6;
  • 29) 0,376 214 018 457 6 × 2 = 0 + 0,752 428 036 915 2;
  • 30) 0,752 428 036 915 2 × 2 = 1 + 0,504 856 073 830 4;
  • 31) 0,504 856 073 830 4 × 2 = 1 + 0,009 712 147 660 8;
  • 32) 0,009 712 147 660 8 × 2 = 0 + 0,019 424 295 321 6;
  • 33) 0,019 424 295 321 6 × 2 = 0 + 0,038 848 590 643 2;
  • 34) 0,038 848 590 643 2 × 2 = 0 + 0,077 697 181 286 4;
  • 35) 0,077 697 181 286 4 × 2 = 0 + 0,155 394 362 572 8;
  • 36) 0,155 394 362 572 8 × 2 = 0 + 0,310 788 725 145 6;
  • 37) 0,310 788 725 145 6 × 2 = 0 + 0,621 577 450 291 2;
  • 38) 0,621 577 450 291 2 × 2 = 1 + 0,243 154 900 582 4;
  • 39) 0,243 154 900 582 4 × 2 = 0 + 0,486 309 801 164 8;
  • 40) 0,486 309 801 164 8 × 2 = 0 + 0,972 619 602 329 6;
  • 41) 0,972 619 602 329 6 × 2 = 1 + 0,945 239 204 659 2;
  • 42) 0,945 239 204 659 2 × 2 = 1 + 0,890 478 409 318 4;
  • 43) 0,890 478 409 318 4 × 2 = 1 + 0,780 956 818 636 8;
  • 44) 0,780 956 818 636 8 × 2 = 1 + 0,561 913 637 273 6;
  • 45) 0,561 913 637 273 6 × 2 = 1 + 0,123 827 274 547 2;
  • 46) 0,123 827 274 547 2 × 2 = 0 + 0,247 654 549 094 4;
  • 47) 0,247 654 549 094 4 × 2 = 0 + 0,495 309 098 188 8;
  • 48) 0,495 309 098 188 8 × 2 = 0 + 0,990 618 196 377 6;
  • 49) 0,990 618 196 377 6 × 2 = 1 + 0,981 236 392 755 2;
  • 50) 0,981 236 392 755 2 × 2 = 1 + 0,962 472 785 510 4;
  • 51) 0,962 472 785 510 4 × 2 = 1 + 0,924 945 571 020 8;
  • 52) 0,924 945 571 020 8 × 2 = 1 + 0,849 891 142 041 6;
  • 53) 0,849 891 142 041 6 × 2 = 1 + 0,699 782 284 083 2;
  • 54) 0,699 782 284 083 2 × 2 = 1 + 0,399 564 568 166 4;
  • 55) 0,399 564 568 166 4 × 2 = 0 + 0,799 129 136 332 8;
  • 56) 0,799 129 136 332 8 × 2 = 1 + 0,598 258 272 665 6;
  • 57) 0,598 258 272 665 6 × 2 = 1 + 0,196 516 545 331 2;
  • 58) 0,196 516 545 331 2 × 2 = 0 + 0,393 033 090 662 4;
  • 59) 0,393 033 090 662 4 × 2 = 0 + 0,786 066 181 324 8;
  • 60) 0,786 066 181 324 8 × 2 = 1 + 0,572 132 362 649 6;
  • 61) 0,572 132 362 649 6 × 2 = 1 + 0,144 264 725 299 2;
  • 62) 0,144 264 725 299 2 × 2 = 0 + 0,288 529 450 598 4;
  • 63) 0,288 529 450 598 4 × 2 = 0 + 0,577 058 901 196 8;
  • 64) 0,577 058 901 196 8 × 2 = 1 + 0,154 117 802 393 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 877 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 877 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 877 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 877 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0100 1111 1000 1111 1101 1001 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 870 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100