-0,000 282 005 879 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 879 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 879 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 879 6| = 0,000 282 005 879 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 879 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 879 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 759 2;
  • 2) 0,000 564 011 759 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 518 4;
  • 3) 0,001 128 023 518 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 036 8;
  • 4) 0,002 256 047 036 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 073 6;
  • 5) 0,004 512 094 073 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 147 2;
  • 6) 0,009 024 188 147 2 × 2 = 0 + 0,018 048 376 294 4;
  • 7) 0,018 048 376 294 4 × 2 = 0 + 0,036 096 752 588 8;
  • 8) 0,036 096 752 588 8 × 2 = 0 + 0,072 193 505 177 6;
  • 9) 0,072 193 505 177 6 × 2 = 0 + 0,144 387 010 355 2;
  • 10) 0,144 387 010 355 2 × 2 = 0 + 0,288 774 020 710 4;
  • 11) 0,288 774 020 710 4 × 2 = 0 + 0,577 548 041 420 8;
  • 12) 0,577 548 041 420 8 × 2 = 1 + 0,155 096 082 841 6;
  • 13) 0,155 096 082 841 6 × 2 = 0 + 0,310 192 165 683 2;
  • 14) 0,310 192 165 683 2 × 2 = 0 + 0,620 384 331 366 4;
  • 15) 0,620 384 331 366 4 × 2 = 1 + 0,240 768 662 732 8;
  • 16) 0,240 768 662 732 8 × 2 = 0 + 0,481 537 325 465 6;
  • 17) 0,481 537 325 465 6 × 2 = 0 + 0,963 074 650 931 2;
  • 18) 0,963 074 650 931 2 × 2 = 1 + 0,926 149 301 862 4;
  • 19) 0,926 149 301 862 4 × 2 = 1 + 0,852 298 603 724 8;
  • 20) 0,852 298 603 724 8 × 2 = 1 + 0,704 597 207 449 6;
  • 21) 0,704 597 207 449 6 × 2 = 1 + 0,409 194 414 899 2;
  • 22) 0,409 194 414 899 2 × 2 = 0 + 0,818 388 829 798 4;
  • 23) 0,818 388 829 798 4 × 2 = 1 + 0,636 777 659 596 8;
  • 24) 0,636 777 659 596 8 × 2 = 1 + 0,273 555 319 193 6;
  • 25) 0,273 555 319 193 6 × 2 = 0 + 0,547 110 638 387 2;
  • 26) 0,547 110 638 387 2 × 2 = 1 + 0,094 221 276 774 4;
  • 27) 0,094 221 276 774 4 × 2 = 0 + 0,188 442 553 548 8;
  • 28) 0,188 442 553 548 8 × 2 = 0 + 0,376 885 107 097 6;
  • 29) 0,376 885 107 097 6 × 2 = 0 + 0,753 770 214 195 2;
  • 30) 0,753 770 214 195 2 × 2 = 1 + 0,507 540 428 390 4;
  • 31) 0,507 540 428 390 4 × 2 = 1 + 0,015 080 856 780 8;
  • 32) 0,015 080 856 780 8 × 2 = 0 + 0,030 161 713 561 6;
  • 33) 0,030 161 713 561 6 × 2 = 0 + 0,060 323 427 123 2;
  • 34) 0,060 323 427 123 2 × 2 = 0 + 0,120 646 854 246 4;
  • 35) 0,120 646 854 246 4 × 2 = 0 + 0,241 293 708 492 8;
  • 36) 0,241 293 708 492 8 × 2 = 0 + 0,482 587 416 985 6;
  • 37) 0,482 587 416 985 6 × 2 = 0 + 0,965 174 833 971 2;
  • 38) 0,965 174 833 971 2 × 2 = 1 + 0,930 349 667 942 4;
  • 39) 0,930 349 667 942 4 × 2 = 1 + 0,860 699 335 884 8;
  • 40) 0,860 699 335 884 8 × 2 = 1 + 0,721 398 671 769 6;
  • 41) 0,721 398 671 769 6 × 2 = 1 + 0,442 797 343 539 2;
  • 42) 0,442 797 343 539 2 × 2 = 0 + 0,885 594 687 078 4;
  • 43) 0,885 594 687 078 4 × 2 = 1 + 0,771 189 374 156 8;
  • 44) 0,771 189 374 156 8 × 2 = 1 + 0,542 378 748 313 6;
  • 45) 0,542 378 748 313 6 × 2 = 1 + 0,084 757 496 627 2;
  • 46) 0,084 757 496 627 2 × 2 = 0 + 0,169 514 993 254 4;
  • 47) 0,169 514 993 254 4 × 2 = 0 + 0,339 029 986 508 8;
  • 48) 0,339 029 986 508 8 × 2 = 0 + 0,678 059 973 017 6;
  • 49) 0,678 059 973 017 6 × 2 = 1 + 0,356 119 946 035 2;
  • 50) 0,356 119 946 035 2 × 2 = 0 + 0,712 239 892 070 4;
  • 51) 0,712 239 892 070 4 × 2 = 1 + 0,424 479 784 140 8;
  • 52) 0,424 479 784 140 8 × 2 = 0 + 0,848 959 568 281 6;
  • 53) 0,848 959 568 281 6 × 2 = 1 + 0,697 919 136 563 2;
  • 54) 0,697 919 136 563 2 × 2 = 1 + 0,395 838 273 126 4;
  • 55) 0,395 838 273 126 4 × 2 = 0 + 0,791 676 546 252 8;
  • 56) 0,791 676 546 252 8 × 2 = 1 + 0,583 353 092 505 6;
  • 57) 0,583 353 092 505 6 × 2 = 1 + 0,166 706 185 011 2;
  • 58) 0,166 706 185 011 2 × 2 = 0 + 0,333 412 370 022 4;
  • 59) 0,333 412 370 022 4 × 2 = 0 + 0,666 824 740 044 8;
  • 60) 0,666 824 740 044 8 × 2 = 1 + 0,333 649 480 089 6;
  • 61) 0,333 649 480 089 6 × 2 = 0 + 0,667 298 960 179 2;
  • 62) 0,667 298 960 179 2 × 2 = 1 + 0,334 597 920 358 4;
  • 63) 0,334 597 920 358 4 × 2 = 0 + 0,669 195 840 716 8;
  • 64) 0,669 195 840 716 8 × 2 = 1 + 0,338 391 681 433 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 879 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 879 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 879 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 879 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 1011 1000 1010 1101 1001 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 886 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100