-0,000 282 005 883 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 883 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 883 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 883 1| = 0,000 282 005 883 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 883 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 883 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 766 2;
  • 2) 0,000 564 011 766 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 532 4;
  • 3) 0,001 128 023 532 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 064 8;
  • 4) 0,002 256 047 064 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 129 6;
  • 5) 0,004 512 094 129 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 259 2;
  • 6) 0,009 024 188 259 2 × 2 = 0 + 0,018 048 376 518 4;
  • 7) 0,018 048 376 518 4 × 2 = 0 + 0,036 096 753 036 8;
  • 8) 0,036 096 753 036 8 × 2 = 0 + 0,072 193 506 073 6;
  • 9) 0,072 193 506 073 6 × 2 = 0 + 0,144 387 012 147 2;
  • 10) 0,144 387 012 147 2 × 2 = 0 + 0,288 774 024 294 4;
  • 11) 0,288 774 024 294 4 × 2 = 0 + 0,577 548 048 588 8;
  • 12) 0,577 548 048 588 8 × 2 = 1 + 0,155 096 097 177 6;
  • 13) 0,155 096 097 177 6 × 2 = 0 + 0,310 192 194 355 2;
  • 14) 0,310 192 194 355 2 × 2 = 0 + 0,620 384 388 710 4;
  • 15) 0,620 384 388 710 4 × 2 = 1 + 0,240 768 777 420 8;
  • 16) 0,240 768 777 420 8 × 2 = 0 + 0,481 537 554 841 6;
  • 17) 0,481 537 554 841 6 × 2 = 0 + 0,963 075 109 683 2;
  • 18) 0,963 075 109 683 2 × 2 = 1 + 0,926 150 219 366 4;
  • 19) 0,926 150 219 366 4 × 2 = 1 + 0,852 300 438 732 8;
  • 20) 0,852 300 438 732 8 × 2 = 1 + 0,704 600 877 465 6;
  • 21) 0,704 600 877 465 6 × 2 = 1 + 0,409 201 754 931 2;
  • 22) 0,409 201 754 931 2 × 2 = 0 + 0,818 403 509 862 4;
  • 23) 0,818 403 509 862 4 × 2 = 1 + 0,636 807 019 724 8;
  • 24) 0,636 807 019 724 8 × 2 = 1 + 0,273 614 039 449 6;
  • 25) 0,273 614 039 449 6 × 2 = 0 + 0,547 228 078 899 2;
  • 26) 0,547 228 078 899 2 × 2 = 1 + 0,094 456 157 798 4;
  • 27) 0,094 456 157 798 4 × 2 = 0 + 0,188 912 315 596 8;
  • 28) 0,188 912 315 596 8 × 2 = 0 + 0,377 824 631 193 6;
  • 29) 0,377 824 631 193 6 × 2 = 0 + 0,755 649 262 387 2;
  • 30) 0,755 649 262 387 2 × 2 = 1 + 0,511 298 524 774 4;
  • 31) 0,511 298 524 774 4 × 2 = 1 + 0,022 597 049 548 8;
  • 32) 0,022 597 049 548 8 × 2 = 0 + 0,045 194 099 097 6;
  • 33) 0,045 194 099 097 6 × 2 = 0 + 0,090 388 198 195 2;
  • 34) 0,090 388 198 195 2 × 2 = 0 + 0,180 776 396 390 4;
  • 35) 0,180 776 396 390 4 × 2 = 0 + 0,361 552 792 780 8;
  • 36) 0,361 552 792 780 8 × 2 = 0 + 0,723 105 585 561 6;
  • 37) 0,723 105 585 561 6 × 2 = 1 + 0,446 211 171 123 2;
  • 38) 0,446 211 171 123 2 × 2 = 0 + 0,892 422 342 246 4;
  • 39) 0,892 422 342 246 4 × 2 = 1 + 0,784 844 684 492 8;
  • 40) 0,784 844 684 492 8 × 2 = 1 + 0,569 689 368 985 6;
  • 41) 0,569 689 368 985 6 × 2 = 1 + 0,139 378 737 971 2;
  • 42) 0,139 378 737 971 2 × 2 = 0 + 0,278 757 475 942 4;
  • 43) 0,278 757 475 942 4 × 2 = 0 + 0,557 514 951 884 8;
  • 44) 0,557 514 951 884 8 × 2 = 1 + 0,115 029 903 769 6;
  • 45) 0,115 029 903 769 6 × 2 = 0 + 0,230 059 807 539 2;
  • 46) 0,230 059 807 539 2 × 2 = 0 + 0,460 119 615 078 4;
  • 47) 0,460 119 615 078 4 × 2 = 0 + 0,920 239 230 156 8;
  • 48) 0,920 239 230 156 8 × 2 = 1 + 0,840 478 460 313 6;
  • 49) 0,840 478 460 313 6 × 2 = 1 + 0,680 956 920 627 2;
  • 50) 0,680 956 920 627 2 × 2 = 1 + 0,361 913 841 254 4;
  • 51) 0,361 913 841 254 4 × 2 = 0 + 0,723 827 682 508 8;
  • 52) 0,723 827 682 508 8 × 2 = 1 + 0,447 655 365 017 6;
  • 53) 0,447 655 365 017 6 × 2 = 0 + 0,895 310 730 035 2;
  • 54) 0,895 310 730 035 2 × 2 = 1 + 0,790 621 460 070 4;
  • 55) 0,790 621 460 070 4 × 2 = 1 + 0,581 242 920 140 8;
  • 56) 0,581 242 920 140 8 × 2 = 1 + 0,162 485 840 281 6;
  • 57) 0,162 485 840 281 6 × 2 = 0 + 0,324 971 680 563 2;
  • 58) 0,324 971 680 563 2 × 2 = 0 + 0,649 943 361 126 4;
  • 59) 0,649 943 361 126 4 × 2 = 1 + 0,299 886 722 252 8;
  • 60) 0,299 886 722 252 8 × 2 = 0 + 0,599 773 444 505 6;
  • 61) 0,599 773 444 505 6 × 2 = 1 + 0,199 546 889 011 2;
  • 62) 0,199 546 889 011 2 × 2 = 0 + 0,399 093 778 022 4;
  • 63) 0,399 093 778 022 4 × 2 = 0 + 0,798 187 556 044 8;
  • 64) 0,798 187 556 044 8 × 2 = 1 + 0,596 375 112 089 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 883 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 883 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 883 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 883 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 1001 0001 1101 0111 0010 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 891 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100