-0,000 282 005 891 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 891 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 891 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 891 2| = 0,000 282 005 891 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 891 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 891 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 782 4;
  • 2) 0,000 564 011 782 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 564 8;
  • 3) 0,001 128 023 564 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 129 6;
  • 4) 0,002 256 047 129 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 259 2;
  • 5) 0,004 512 094 259 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 518 4;
  • 6) 0,009 024 188 518 4 × 2 = 0 + 0,018 048 377 036 8;
  • 7) 0,018 048 377 036 8 × 2 = 0 + 0,036 096 754 073 6;
  • 8) 0,036 096 754 073 6 × 2 = 0 + 0,072 193 508 147 2;
  • 9) 0,072 193 508 147 2 × 2 = 0 + 0,144 387 016 294 4;
  • 10) 0,144 387 016 294 4 × 2 = 0 + 0,288 774 032 588 8;
  • 11) 0,288 774 032 588 8 × 2 = 0 + 0,577 548 065 177 6;
  • 12) 0,577 548 065 177 6 × 2 = 1 + 0,155 096 130 355 2;
  • 13) 0,155 096 130 355 2 × 2 = 0 + 0,310 192 260 710 4;
  • 14) 0,310 192 260 710 4 × 2 = 0 + 0,620 384 521 420 8;
  • 15) 0,620 384 521 420 8 × 2 = 1 + 0,240 769 042 841 6;
  • 16) 0,240 769 042 841 6 × 2 = 0 + 0,481 538 085 683 2;
  • 17) 0,481 538 085 683 2 × 2 = 0 + 0,963 076 171 366 4;
  • 18) 0,963 076 171 366 4 × 2 = 1 + 0,926 152 342 732 8;
  • 19) 0,926 152 342 732 8 × 2 = 1 + 0,852 304 685 465 6;
  • 20) 0,852 304 685 465 6 × 2 = 1 + 0,704 609 370 931 2;
  • 21) 0,704 609 370 931 2 × 2 = 1 + 0,409 218 741 862 4;
  • 22) 0,409 218 741 862 4 × 2 = 0 + 0,818 437 483 724 8;
  • 23) 0,818 437 483 724 8 × 2 = 1 + 0,636 874 967 449 6;
  • 24) 0,636 874 967 449 6 × 2 = 1 + 0,273 749 934 899 2;
  • 25) 0,273 749 934 899 2 × 2 = 0 + 0,547 499 869 798 4;
  • 26) 0,547 499 869 798 4 × 2 = 1 + 0,094 999 739 596 8;
  • 27) 0,094 999 739 596 8 × 2 = 0 + 0,189 999 479 193 6;
  • 28) 0,189 999 479 193 6 × 2 = 0 + 0,379 998 958 387 2;
  • 29) 0,379 998 958 387 2 × 2 = 0 + 0,759 997 916 774 4;
  • 30) 0,759 997 916 774 4 × 2 = 1 + 0,519 995 833 548 8;
  • 31) 0,519 995 833 548 8 × 2 = 1 + 0,039 991 667 097 6;
  • 32) 0,039 991 667 097 6 × 2 = 0 + 0,079 983 334 195 2;
  • 33) 0,079 983 334 195 2 × 2 = 0 + 0,159 966 668 390 4;
  • 34) 0,159 966 668 390 4 × 2 = 0 + 0,319 933 336 780 8;
  • 35) 0,319 933 336 780 8 × 2 = 0 + 0,639 866 673 561 6;
  • 36) 0,639 866 673 561 6 × 2 = 1 + 0,279 733 347 123 2;
  • 37) 0,279 733 347 123 2 × 2 = 0 + 0,559 466 694 246 4;
  • 38) 0,559 466 694 246 4 × 2 = 1 + 0,118 933 388 492 8;
  • 39) 0,118 933 388 492 8 × 2 = 0 + 0,237 866 776 985 6;
  • 40) 0,237 866 776 985 6 × 2 = 0 + 0,475 733 553 971 2;
  • 41) 0,475 733 553 971 2 × 2 = 0 + 0,951 467 107 942 4;
  • 42) 0,951 467 107 942 4 × 2 = 1 + 0,902 934 215 884 8;
  • 43) 0,902 934 215 884 8 × 2 = 1 + 0,805 868 431 769 6;
  • 44) 0,805 868 431 769 6 × 2 = 1 + 0,611 736 863 539 2;
  • 45) 0,611 736 863 539 2 × 2 = 1 + 0,223 473 727 078 4;
  • 46) 0,223 473 727 078 4 × 2 = 0 + 0,446 947 454 156 8;
  • 47) 0,446 947 454 156 8 × 2 = 0 + 0,893 894 908 313 6;
  • 48) 0,893 894 908 313 6 × 2 = 1 + 0,787 789 816 627 2;
  • 49) 0,787 789 816 627 2 × 2 = 1 + 0,575 579 633 254 4;
  • 50) 0,575 579 633 254 4 × 2 = 1 + 0,151 159 266 508 8;
  • 51) 0,151 159 266 508 8 × 2 = 0 + 0,302 318 533 017 6;
  • 52) 0,302 318 533 017 6 × 2 = 0 + 0,604 637 066 035 2;
  • 53) 0,604 637 066 035 2 × 2 = 1 + 0,209 274 132 070 4;
  • 54) 0,209 274 132 070 4 × 2 = 0 + 0,418 548 264 140 8;
  • 55) 0,418 548 264 140 8 × 2 = 0 + 0,837 096 528 281 6;
  • 56) 0,837 096 528 281 6 × 2 = 1 + 0,674 193 056 563 2;
  • 57) 0,674 193 056 563 2 × 2 = 1 + 0,348 386 113 126 4;
  • 58) 0,348 386 113 126 4 × 2 = 0 + 0,696 772 226 252 8;
  • 59) 0,696 772 226 252 8 × 2 = 1 + 0,393 544 452 505 6;
  • 60) 0,393 544 452 505 6 × 2 = 0 + 0,787 088 905 011 2;
  • 61) 0,787 088 905 011 2 × 2 = 1 + 0,574 177 810 022 4;
  • 62) 0,574 177 810 022 4 × 2 = 1 + 0,148 355 620 044 8;
  • 63) 0,148 355 620 044 8 × 2 = 0 + 0,296 711 240 089 6;
  • 64) 0,296 711 240 089 6 × 2 = 0 + 0,593 422 480 179 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 891 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 891 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 891 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 891 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0100 0111 1001 1100 1001 1010 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 895 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100