-0,000 282 005 889 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 889 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 889 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 889 6| = 0,000 282 005 889 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 889 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 889 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 779 2;
  • 2) 0,000 564 011 779 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 558 4;
  • 3) 0,001 128 023 558 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 116 8;
  • 4) 0,002 256 047 116 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 233 6;
  • 5) 0,004 512 094 233 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 467 2;
  • 6) 0,009 024 188 467 2 × 2 = 0 + 0,018 048 376 934 4;
  • 7) 0,018 048 376 934 4 × 2 = 0 + 0,036 096 753 868 8;
  • 8) 0,036 096 753 868 8 × 2 = 0 + 0,072 193 507 737 6;
  • 9) 0,072 193 507 737 6 × 2 = 0 + 0,144 387 015 475 2;
  • 10) 0,144 387 015 475 2 × 2 = 0 + 0,288 774 030 950 4;
  • 11) 0,288 774 030 950 4 × 2 = 0 + 0,577 548 061 900 8;
  • 12) 0,577 548 061 900 8 × 2 = 1 + 0,155 096 123 801 6;
  • 13) 0,155 096 123 801 6 × 2 = 0 + 0,310 192 247 603 2;
  • 14) 0,310 192 247 603 2 × 2 = 0 + 0,620 384 495 206 4;
  • 15) 0,620 384 495 206 4 × 2 = 1 + 0,240 768 990 412 8;
  • 16) 0,240 768 990 412 8 × 2 = 0 + 0,481 537 980 825 6;
  • 17) 0,481 537 980 825 6 × 2 = 0 + 0,963 075 961 651 2;
  • 18) 0,963 075 961 651 2 × 2 = 1 + 0,926 151 923 302 4;
  • 19) 0,926 151 923 302 4 × 2 = 1 + 0,852 303 846 604 8;
  • 20) 0,852 303 846 604 8 × 2 = 1 + 0,704 607 693 209 6;
  • 21) 0,704 607 693 209 6 × 2 = 1 + 0,409 215 386 419 2;
  • 22) 0,409 215 386 419 2 × 2 = 0 + 0,818 430 772 838 4;
  • 23) 0,818 430 772 838 4 × 2 = 1 + 0,636 861 545 676 8;
  • 24) 0,636 861 545 676 8 × 2 = 1 + 0,273 723 091 353 6;
  • 25) 0,273 723 091 353 6 × 2 = 0 + 0,547 446 182 707 2;
  • 26) 0,547 446 182 707 2 × 2 = 1 + 0,094 892 365 414 4;
  • 27) 0,094 892 365 414 4 × 2 = 0 + 0,189 784 730 828 8;
  • 28) 0,189 784 730 828 8 × 2 = 0 + 0,379 569 461 657 6;
  • 29) 0,379 569 461 657 6 × 2 = 0 + 0,759 138 923 315 2;
  • 30) 0,759 138 923 315 2 × 2 = 1 + 0,518 277 846 630 4;
  • 31) 0,518 277 846 630 4 × 2 = 1 + 0,036 555 693 260 8;
  • 32) 0,036 555 693 260 8 × 2 = 0 + 0,073 111 386 521 6;
  • 33) 0,073 111 386 521 6 × 2 = 0 + 0,146 222 773 043 2;
  • 34) 0,146 222 773 043 2 × 2 = 0 + 0,292 445 546 086 4;
  • 35) 0,292 445 546 086 4 × 2 = 0 + 0,584 891 092 172 8;
  • 36) 0,584 891 092 172 8 × 2 = 1 + 0,169 782 184 345 6;
  • 37) 0,169 782 184 345 6 × 2 = 0 + 0,339 564 368 691 2;
  • 38) 0,339 564 368 691 2 × 2 = 0 + 0,679 128 737 382 4;
  • 39) 0,679 128 737 382 4 × 2 = 1 + 0,358 257 474 764 8;
  • 40) 0,358 257 474 764 8 × 2 = 0 + 0,716 514 949 529 6;
  • 41) 0,716 514 949 529 6 × 2 = 1 + 0,433 029 899 059 2;
  • 42) 0,433 029 899 059 2 × 2 = 0 + 0,866 059 798 118 4;
  • 43) 0,866 059 798 118 4 × 2 = 1 + 0,732 119 596 236 8;
  • 44) 0,732 119 596 236 8 × 2 = 1 + 0,464 239 192 473 6;
  • 45) 0,464 239 192 473 6 × 2 = 0 + 0,928 478 384 947 2;
  • 46) 0,928 478 384 947 2 × 2 = 1 + 0,856 956 769 894 4;
  • 47) 0,856 956 769 894 4 × 2 = 1 + 0,713 913 539 788 8;
  • 48) 0,713 913 539 788 8 × 2 = 1 + 0,427 827 079 577 6;
  • 49) 0,427 827 079 577 6 × 2 = 0 + 0,855 654 159 155 2;
  • 50) 0,855 654 159 155 2 × 2 = 1 + 0,711 308 318 310 4;
  • 51) 0,711 308 318 310 4 × 2 = 1 + 0,422 616 636 620 8;
  • 52) 0,422 616 636 620 8 × 2 = 0 + 0,845 233 273 241 6;
  • 53) 0,845 233 273 241 6 × 2 = 1 + 0,690 466 546 483 2;
  • 54) 0,690 466 546 483 2 × 2 = 1 + 0,380 933 092 966 4;
  • 55) 0,380 933 092 966 4 × 2 = 0 + 0,761 866 185 932 8;
  • 56) 0,761 866 185 932 8 × 2 = 1 + 0,523 732 371 865 6;
  • 57) 0,523 732 371 865 6 × 2 = 1 + 0,047 464 743 731 2;
  • 58) 0,047 464 743 731 2 × 2 = 0 + 0,094 929 487 462 4;
  • 59) 0,094 929 487 462 4 × 2 = 0 + 0,189 858 974 924 8;
  • 60) 0,189 858 974 924 8 × 2 = 0 + 0,379 717 949 849 6;
  • 61) 0,379 717 949 849 6 × 2 = 0 + 0,759 435 899 699 2;
  • 62) 0,759 435 899 699 2 × 2 = 1 + 0,518 871 799 398 4;
  • 63) 0,518 871 799 398 4 × 2 = 1 + 0,037 743 598 796 8;
  • 64) 0,037 743 598 796 8 × 2 = 0 + 0,075 487 197 593 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 889 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 889 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 889 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 889 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 1011 0111 0110 1101 1000 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 886 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100