-0,000 282 005 892 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 892 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 892 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 892 4| = 0,000 282 005 892 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 892 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 892 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 784 8;
  • 2) 0,000 564 011 784 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 569 6;
  • 3) 0,001 128 023 569 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 139 2;
  • 4) 0,002 256 047 139 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 278 4;
  • 5) 0,004 512 094 278 4 × 2 = 0 + 0,009 024 188 556 8;
  • 6) 0,009 024 188 556 8 × 2 = 0 + 0,018 048 377 113 6;
  • 7) 0,018 048 377 113 6 × 2 = 0 + 0,036 096 754 227 2;
  • 8) 0,036 096 754 227 2 × 2 = 0 + 0,072 193 508 454 4;
  • 9) 0,072 193 508 454 4 × 2 = 0 + 0,144 387 016 908 8;
  • 10) 0,144 387 016 908 8 × 2 = 0 + 0,288 774 033 817 6;
  • 11) 0,288 774 033 817 6 × 2 = 0 + 0,577 548 067 635 2;
  • 12) 0,577 548 067 635 2 × 2 = 1 + 0,155 096 135 270 4;
  • 13) 0,155 096 135 270 4 × 2 = 0 + 0,310 192 270 540 8;
  • 14) 0,310 192 270 540 8 × 2 = 0 + 0,620 384 541 081 6;
  • 15) 0,620 384 541 081 6 × 2 = 1 + 0,240 769 082 163 2;
  • 16) 0,240 769 082 163 2 × 2 = 0 + 0,481 538 164 326 4;
  • 17) 0,481 538 164 326 4 × 2 = 0 + 0,963 076 328 652 8;
  • 18) 0,963 076 328 652 8 × 2 = 1 + 0,926 152 657 305 6;
  • 19) 0,926 152 657 305 6 × 2 = 1 + 0,852 305 314 611 2;
  • 20) 0,852 305 314 611 2 × 2 = 1 + 0,704 610 629 222 4;
  • 21) 0,704 610 629 222 4 × 2 = 1 + 0,409 221 258 444 8;
  • 22) 0,409 221 258 444 8 × 2 = 0 + 0,818 442 516 889 6;
  • 23) 0,818 442 516 889 6 × 2 = 1 + 0,636 885 033 779 2;
  • 24) 0,636 885 033 779 2 × 2 = 1 + 0,273 770 067 558 4;
  • 25) 0,273 770 067 558 4 × 2 = 0 + 0,547 540 135 116 8;
  • 26) 0,547 540 135 116 8 × 2 = 1 + 0,095 080 270 233 6;
  • 27) 0,095 080 270 233 6 × 2 = 0 + 0,190 160 540 467 2;
  • 28) 0,190 160 540 467 2 × 2 = 0 + 0,380 321 080 934 4;
  • 29) 0,380 321 080 934 4 × 2 = 0 + 0,760 642 161 868 8;
  • 30) 0,760 642 161 868 8 × 2 = 1 + 0,521 284 323 737 6;
  • 31) 0,521 284 323 737 6 × 2 = 1 + 0,042 568 647 475 2;
  • 32) 0,042 568 647 475 2 × 2 = 0 + 0,085 137 294 950 4;
  • 33) 0,085 137 294 950 4 × 2 = 0 + 0,170 274 589 900 8;
  • 34) 0,170 274 589 900 8 × 2 = 0 + 0,340 549 179 801 6;
  • 35) 0,340 549 179 801 6 × 2 = 0 + 0,681 098 359 603 2;
  • 36) 0,681 098 359 603 2 × 2 = 1 + 0,362 196 719 206 4;
  • 37) 0,362 196 719 206 4 × 2 = 0 + 0,724 393 438 412 8;
  • 38) 0,724 393 438 412 8 × 2 = 1 + 0,448 786 876 825 6;
  • 39) 0,448 786 876 825 6 × 2 = 0 + 0,897 573 753 651 2;
  • 40) 0,897 573 753 651 2 × 2 = 1 + 0,795 147 507 302 4;
  • 41) 0,795 147 507 302 4 × 2 = 1 + 0,590 295 014 604 8;
  • 42) 0,590 295 014 604 8 × 2 = 1 + 0,180 590 029 209 6;
  • 43) 0,180 590 029 209 6 × 2 = 0 + 0,361 180 058 419 2;
  • 44) 0,361 180 058 419 2 × 2 = 0 + 0,722 360 116 838 4;
  • 45) 0,722 360 116 838 4 × 2 = 1 + 0,444 720 233 676 8;
  • 46) 0,444 720 233 676 8 × 2 = 0 + 0,889 440 467 353 6;
  • 47) 0,889 440 467 353 6 × 2 = 1 + 0,778 880 934 707 2;
  • 48) 0,778 880 934 707 2 × 2 = 1 + 0,557 761 869 414 4;
  • 49) 0,557 761 869 414 4 × 2 = 1 + 0,115 523 738 828 8;
  • 50) 0,115 523 738 828 8 × 2 = 0 + 0,231 047 477 657 6;
  • 51) 0,231 047 477 657 6 × 2 = 0 + 0,462 094 955 315 2;
  • 52) 0,462 094 955 315 2 × 2 = 0 + 0,924 189 910 630 4;
  • 53) 0,924 189 910 630 4 × 2 = 1 + 0,848 379 821 260 8;
  • 54) 0,848 379 821 260 8 × 2 = 1 + 0,696 759 642 521 6;
  • 55) 0,696 759 642 521 6 × 2 = 1 + 0,393 519 285 043 2;
  • 56) 0,393 519 285 043 2 × 2 = 0 + 0,787 038 570 086 4;
  • 57) 0,787 038 570 086 4 × 2 = 1 + 0,574 077 140 172 8;
  • 58) 0,574 077 140 172 8 × 2 = 1 + 0,148 154 280 345 6;
  • 59) 0,148 154 280 345 6 × 2 = 0 + 0,296 308 560 691 2;
  • 60) 0,296 308 560 691 2 × 2 = 0 + 0,592 617 121 382 4;
  • 61) 0,592 617 121 382 4 × 2 = 1 + 0,185 234 242 764 8;
  • 62) 0,185 234 242 764 8 × 2 = 0 + 0,370 468 485 529 6;
  • 63) 0,370 468 485 529 6 × 2 = 0 + 0,740 936 971 059 2;
  • 64) 0,740 936 971 059 2 × 2 = 1 + 0,481 873 942 118 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 892 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 892 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 892 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 892 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0101 1100 1011 1000 1110 1100 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 894 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100