-0,000 282 005 894 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 894 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 894 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 894 1| = 0,000 282 005 894 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 894 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 894 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 788 2;
  • 2) 0,000 564 011 788 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 576 4;
  • 3) 0,001 128 023 576 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 152 8;
  • 4) 0,002 256 047 152 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 305 6;
  • 5) 0,004 512 094 305 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 611 2;
  • 6) 0,009 024 188 611 2 × 2 = 0 + 0,018 048 377 222 4;
  • 7) 0,018 048 377 222 4 × 2 = 0 + 0,036 096 754 444 8;
  • 8) 0,036 096 754 444 8 × 2 = 0 + 0,072 193 508 889 6;
  • 9) 0,072 193 508 889 6 × 2 = 0 + 0,144 387 017 779 2;
  • 10) 0,144 387 017 779 2 × 2 = 0 + 0,288 774 035 558 4;
  • 11) 0,288 774 035 558 4 × 2 = 0 + 0,577 548 071 116 8;
  • 12) 0,577 548 071 116 8 × 2 = 1 + 0,155 096 142 233 6;
  • 13) 0,155 096 142 233 6 × 2 = 0 + 0,310 192 284 467 2;
  • 14) 0,310 192 284 467 2 × 2 = 0 + 0,620 384 568 934 4;
  • 15) 0,620 384 568 934 4 × 2 = 1 + 0,240 769 137 868 8;
  • 16) 0,240 769 137 868 8 × 2 = 0 + 0,481 538 275 737 6;
  • 17) 0,481 538 275 737 6 × 2 = 0 + 0,963 076 551 475 2;
  • 18) 0,963 076 551 475 2 × 2 = 1 + 0,926 153 102 950 4;
  • 19) 0,926 153 102 950 4 × 2 = 1 + 0,852 306 205 900 8;
  • 20) 0,852 306 205 900 8 × 2 = 1 + 0,704 612 411 801 6;
  • 21) 0,704 612 411 801 6 × 2 = 1 + 0,409 224 823 603 2;
  • 22) 0,409 224 823 603 2 × 2 = 0 + 0,818 449 647 206 4;
  • 23) 0,818 449 647 206 4 × 2 = 1 + 0,636 899 294 412 8;
  • 24) 0,636 899 294 412 8 × 2 = 1 + 0,273 798 588 825 6;
  • 25) 0,273 798 588 825 6 × 2 = 0 + 0,547 597 177 651 2;
  • 26) 0,547 597 177 651 2 × 2 = 1 + 0,095 194 355 302 4;
  • 27) 0,095 194 355 302 4 × 2 = 0 + 0,190 388 710 604 8;
  • 28) 0,190 388 710 604 8 × 2 = 0 + 0,380 777 421 209 6;
  • 29) 0,380 777 421 209 6 × 2 = 0 + 0,761 554 842 419 2;
  • 30) 0,761 554 842 419 2 × 2 = 1 + 0,523 109 684 838 4;
  • 31) 0,523 109 684 838 4 × 2 = 1 + 0,046 219 369 676 8;
  • 32) 0,046 219 369 676 8 × 2 = 0 + 0,092 438 739 353 6;
  • 33) 0,092 438 739 353 6 × 2 = 0 + 0,184 877 478 707 2;
  • 34) 0,184 877 478 707 2 × 2 = 0 + 0,369 754 957 414 4;
  • 35) 0,369 754 957 414 4 × 2 = 0 + 0,739 509 914 828 8;
  • 36) 0,739 509 914 828 8 × 2 = 1 + 0,479 019 829 657 6;
  • 37) 0,479 019 829 657 6 × 2 = 0 + 0,958 039 659 315 2;
  • 38) 0,958 039 659 315 2 × 2 = 1 + 0,916 079 318 630 4;
  • 39) 0,916 079 318 630 4 × 2 = 1 + 0,832 158 637 260 8;
  • 40) 0,832 158 637 260 8 × 2 = 1 + 0,664 317 274 521 6;
  • 41) 0,664 317 274 521 6 × 2 = 1 + 0,328 634 549 043 2;
  • 42) 0,328 634 549 043 2 × 2 = 0 + 0,657 269 098 086 4;
  • 43) 0,657 269 098 086 4 × 2 = 1 + 0,314 538 196 172 8;
  • 44) 0,314 538 196 172 8 × 2 = 0 + 0,629 076 392 345 6;
  • 45) 0,629 076 392 345 6 × 2 = 1 + 0,258 152 784 691 2;
  • 46) 0,258 152 784 691 2 × 2 = 0 + 0,516 305 569 382 4;
  • 47) 0,516 305 569 382 4 × 2 = 1 + 0,032 611 138 764 8;
  • 48) 0,032 611 138 764 8 × 2 = 0 + 0,065 222 277 529 6;
  • 49) 0,065 222 277 529 6 × 2 = 0 + 0,130 444 555 059 2;
  • 50) 0,130 444 555 059 2 × 2 = 0 + 0,260 889 110 118 4;
  • 51) 0,260 889 110 118 4 × 2 = 0 + 0,521 778 220 236 8;
  • 52) 0,521 778 220 236 8 × 2 = 1 + 0,043 556 440 473 6;
  • 53) 0,043 556 440 473 6 × 2 = 0 + 0,087 112 880 947 2;
  • 54) 0,087 112 880 947 2 × 2 = 0 + 0,174 225 761 894 4;
  • 55) 0,174 225 761 894 4 × 2 = 0 + 0,348 451 523 788 8;
  • 56) 0,348 451 523 788 8 × 2 = 0 + 0,696 903 047 577 6;
  • 57) 0,696 903 047 577 6 × 2 = 1 + 0,393 806 095 155 2;
  • 58) 0,393 806 095 155 2 × 2 = 0 + 0,787 612 190 310 4;
  • 59) 0,787 612 190 310 4 × 2 = 1 + 0,575 224 380 620 8;
  • 60) 0,575 224 380 620 8 × 2 = 1 + 0,150 448 761 241 6;
  • 61) 0,150 448 761 241 6 × 2 = 0 + 0,300 897 522 483 2;
  • 62) 0,300 897 522 483 2 × 2 = 0 + 0,601 795 044 966 4;
  • 63) 0,601 795 044 966 4 × 2 = 1 + 0,203 590 089 932 8;
  • 64) 0,203 590 089 932 8 × 2 = 0 + 0,407 180 179 865 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 894 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 894 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 894 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 894 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1010 1010 0001 0000 1011 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 889 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100