-0,000 282 005 893 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 893 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 893 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 893 3| = 0,000 282 005 893 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 893 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 893 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 786 6;
  • 2) 0,000 564 011 786 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 573 2;
  • 3) 0,001 128 023 573 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 146 4;
  • 4) 0,002 256 047 146 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 292 8;
  • 5) 0,004 512 094 292 8 × 2 = 0 + 0,009 024 188 585 6;
  • 6) 0,009 024 188 585 6 × 2 = 0 + 0,018 048 377 171 2;
  • 7) 0,018 048 377 171 2 × 2 = 0 + 0,036 096 754 342 4;
  • 8) 0,036 096 754 342 4 × 2 = 0 + 0,072 193 508 684 8;
  • 9) 0,072 193 508 684 8 × 2 = 0 + 0,144 387 017 369 6;
  • 10) 0,144 387 017 369 6 × 2 = 0 + 0,288 774 034 739 2;
  • 11) 0,288 774 034 739 2 × 2 = 0 + 0,577 548 069 478 4;
  • 12) 0,577 548 069 478 4 × 2 = 1 + 0,155 096 138 956 8;
  • 13) 0,155 096 138 956 8 × 2 = 0 + 0,310 192 277 913 6;
  • 14) 0,310 192 277 913 6 × 2 = 0 + 0,620 384 555 827 2;
  • 15) 0,620 384 555 827 2 × 2 = 1 + 0,240 769 111 654 4;
  • 16) 0,240 769 111 654 4 × 2 = 0 + 0,481 538 223 308 8;
  • 17) 0,481 538 223 308 8 × 2 = 0 + 0,963 076 446 617 6;
  • 18) 0,963 076 446 617 6 × 2 = 1 + 0,926 152 893 235 2;
  • 19) 0,926 152 893 235 2 × 2 = 1 + 0,852 305 786 470 4;
  • 20) 0,852 305 786 470 4 × 2 = 1 + 0,704 611 572 940 8;
  • 21) 0,704 611 572 940 8 × 2 = 1 + 0,409 223 145 881 6;
  • 22) 0,409 223 145 881 6 × 2 = 0 + 0,818 446 291 763 2;
  • 23) 0,818 446 291 763 2 × 2 = 1 + 0,636 892 583 526 4;
  • 24) 0,636 892 583 526 4 × 2 = 1 + 0,273 785 167 052 8;
  • 25) 0,273 785 167 052 8 × 2 = 0 + 0,547 570 334 105 6;
  • 26) 0,547 570 334 105 6 × 2 = 1 + 0,095 140 668 211 2;
  • 27) 0,095 140 668 211 2 × 2 = 0 + 0,190 281 336 422 4;
  • 28) 0,190 281 336 422 4 × 2 = 0 + 0,380 562 672 844 8;
  • 29) 0,380 562 672 844 8 × 2 = 0 + 0,761 125 345 689 6;
  • 30) 0,761 125 345 689 6 × 2 = 1 + 0,522 250 691 379 2;
  • 31) 0,522 250 691 379 2 × 2 = 1 + 0,044 501 382 758 4;
  • 32) 0,044 501 382 758 4 × 2 = 0 + 0,089 002 765 516 8;
  • 33) 0,089 002 765 516 8 × 2 = 0 + 0,178 005 531 033 6;
  • 34) 0,178 005 531 033 6 × 2 = 0 + 0,356 011 062 067 2;
  • 35) 0,356 011 062 067 2 × 2 = 0 + 0,712 022 124 134 4;
  • 36) 0,712 022 124 134 4 × 2 = 1 + 0,424 044 248 268 8;
  • 37) 0,424 044 248 268 8 × 2 = 0 + 0,848 088 496 537 6;
  • 38) 0,848 088 496 537 6 × 2 = 1 + 0,696 176 993 075 2;
  • 39) 0,696 176 993 075 2 × 2 = 1 + 0,392 353 986 150 4;
  • 40) 0,392 353 986 150 4 × 2 = 0 + 0,784 707 972 300 8;
  • 41) 0,784 707 972 300 8 × 2 = 1 + 0,569 415 944 601 6;
  • 42) 0,569 415 944 601 6 × 2 = 1 + 0,138 831 889 203 2;
  • 43) 0,138 831 889 203 2 × 2 = 0 + 0,277 663 778 406 4;
  • 44) 0,277 663 778 406 4 × 2 = 0 + 0,555 327 556 812 8;
  • 45) 0,555 327 556 812 8 × 2 = 1 + 0,110 655 113 625 6;
  • 46) 0,110 655 113 625 6 × 2 = 0 + 0,221 310 227 251 2;
  • 47) 0,221 310 227 251 2 × 2 = 0 + 0,442 620 454 502 4;
  • 48) 0,442 620 454 502 4 × 2 = 0 + 0,885 240 909 004 8;
  • 49) 0,885 240 909 004 8 × 2 = 1 + 0,770 481 818 009 6;
  • 50) 0,770 481 818 009 6 × 2 = 1 + 0,540 963 636 019 2;
  • 51) 0,540 963 636 019 2 × 2 = 1 + 0,081 927 272 038 4;
  • 52) 0,081 927 272 038 4 × 2 = 0 + 0,163 854 544 076 8;
  • 53) 0,163 854 544 076 8 × 2 = 0 + 0,327 709 088 153 6;
  • 54) 0,327 709 088 153 6 × 2 = 0 + 0,655 418 176 307 2;
  • 55) 0,655 418 176 307 2 × 2 = 1 + 0,310 836 352 614 4;
  • 56) 0,310 836 352 614 4 × 2 = 0 + 0,621 672 705 228 8;
  • 57) 0,621 672 705 228 8 × 2 = 1 + 0,243 345 410 457 6;
  • 58) 0,243 345 410 457 6 × 2 = 0 + 0,486 690 820 915 2;
  • 59) 0,486 690 820 915 2 × 2 = 0 + 0,973 381 641 830 4;
  • 60) 0,973 381 641 830 4 × 2 = 1 + 0,946 763 283 660 8;
  • 61) 0,946 763 283 660 8 × 2 = 1 + 0,893 526 567 321 6;
  • 62) 0,893 526 567 321 6 × 2 = 1 + 0,787 053 134 643 2;
  • 63) 0,787 053 134 643 2 × 2 = 1 + 0,574 106 269 286 4;
  • 64) 0,574 106 269 286 4 × 2 = 1 + 0,148 212 538 572 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 893 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 893 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 893 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 893 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 1100 1000 1110 0010 1001 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 889 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100