-0,000 282 005 899 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 899 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 899 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 899 1| = 0,000 282 005 899 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 899 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 899 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 798 2;
  • 2) 0,000 564 011 798 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 596 4;
  • 3) 0,001 128 023 596 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 192 8;
  • 4) 0,002 256 047 192 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 385 6;
  • 5) 0,004 512 094 385 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 771 2;
  • 6) 0,009 024 188 771 2 × 2 = 0 + 0,018 048 377 542 4;
  • 7) 0,018 048 377 542 4 × 2 = 0 + 0,036 096 755 084 8;
  • 8) 0,036 096 755 084 8 × 2 = 0 + 0,072 193 510 169 6;
  • 9) 0,072 193 510 169 6 × 2 = 0 + 0,144 387 020 339 2;
  • 10) 0,144 387 020 339 2 × 2 = 0 + 0,288 774 040 678 4;
  • 11) 0,288 774 040 678 4 × 2 = 0 + 0,577 548 081 356 8;
  • 12) 0,577 548 081 356 8 × 2 = 1 + 0,155 096 162 713 6;
  • 13) 0,155 096 162 713 6 × 2 = 0 + 0,310 192 325 427 2;
  • 14) 0,310 192 325 427 2 × 2 = 0 + 0,620 384 650 854 4;
  • 15) 0,620 384 650 854 4 × 2 = 1 + 0,240 769 301 708 8;
  • 16) 0,240 769 301 708 8 × 2 = 0 + 0,481 538 603 417 6;
  • 17) 0,481 538 603 417 6 × 2 = 0 + 0,963 077 206 835 2;
  • 18) 0,963 077 206 835 2 × 2 = 1 + 0,926 154 413 670 4;
  • 19) 0,926 154 413 670 4 × 2 = 1 + 0,852 308 827 340 8;
  • 20) 0,852 308 827 340 8 × 2 = 1 + 0,704 617 654 681 6;
  • 21) 0,704 617 654 681 6 × 2 = 1 + 0,409 235 309 363 2;
  • 22) 0,409 235 309 363 2 × 2 = 0 + 0,818 470 618 726 4;
  • 23) 0,818 470 618 726 4 × 2 = 1 + 0,636 941 237 452 8;
  • 24) 0,636 941 237 452 8 × 2 = 1 + 0,273 882 474 905 6;
  • 25) 0,273 882 474 905 6 × 2 = 0 + 0,547 764 949 811 2;
  • 26) 0,547 764 949 811 2 × 2 = 1 + 0,095 529 899 622 4;
  • 27) 0,095 529 899 622 4 × 2 = 0 + 0,191 059 799 244 8;
  • 28) 0,191 059 799 244 8 × 2 = 0 + 0,382 119 598 489 6;
  • 29) 0,382 119 598 489 6 × 2 = 0 + 0,764 239 196 979 2;
  • 30) 0,764 239 196 979 2 × 2 = 1 + 0,528 478 393 958 4;
  • 31) 0,528 478 393 958 4 × 2 = 1 + 0,056 956 787 916 8;
  • 32) 0,056 956 787 916 8 × 2 = 0 + 0,113 913 575 833 6;
  • 33) 0,113 913 575 833 6 × 2 = 0 + 0,227 827 151 667 2;
  • 34) 0,227 827 151 667 2 × 2 = 0 + 0,455 654 303 334 4;
  • 35) 0,455 654 303 334 4 × 2 = 0 + 0,911 308 606 668 8;
  • 36) 0,911 308 606 668 8 × 2 = 1 + 0,822 617 213 337 6;
  • 37) 0,822 617 213 337 6 × 2 = 1 + 0,645 234 426 675 2;
  • 38) 0,645 234 426 675 2 × 2 = 1 + 0,290 468 853 350 4;
  • 39) 0,290 468 853 350 4 × 2 = 0 + 0,580 937 706 700 8;
  • 40) 0,580 937 706 700 8 × 2 = 1 + 0,161 875 413 401 6;
  • 41) 0,161 875 413 401 6 × 2 = 0 + 0,323 750 826 803 2;
  • 42) 0,323 750 826 803 2 × 2 = 0 + 0,647 501 653 606 4;
  • 43) 0,647 501 653 606 4 × 2 = 1 + 0,295 003 307 212 8;
  • 44) 0,295 003 307 212 8 × 2 = 0 + 0,590 006 614 425 6;
  • 45) 0,590 006 614 425 6 × 2 = 1 + 0,180 013 228 851 2;
  • 46) 0,180 013 228 851 2 × 2 = 0 + 0,360 026 457 702 4;
  • 47) 0,360 026 457 702 4 × 2 = 0 + 0,720 052 915 404 8;
  • 48) 0,720 052 915 404 8 × 2 = 1 + 0,440 105 830 809 6;
  • 49) 0,440 105 830 809 6 × 2 = 0 + 0,880 211 661 619 2;
  • 50) 0,880 211 661 619 2 × 2 = 1 + 0,760 423 323 238 4;
  • 51) 0,760 423 323 238 4 × 2 = 1 + 0,520 846 646 476 8;
  • 52) 0,520 846 646 476 8 × 2 = 1 + 0,041 693 292 953 6;
  • 53) 0,041 693 292 953 6 × 2 = 0 + 0,083 386 585 907 2;
  • 54) 0,083 386 585 907 2 × 2 = 0 + 0,166 773 171 814 4;
  • 55) 0,166 773 171 814 4 × 2 = 0 + 0,333 546 343 628 8;
  • 56) 0,333 546 343 628 8 × 2 = 0 + 0,667 092 687 257 6;
  • 57) 0,667 092 687 257 6 × 2 = 1 + 0,334 185 374 515 2;
  • 58) 0,334 185 374 515 2 × 2 = 0 + 0,668 370 749 030 4;
  • 59) 0,668 370 749 030 4 × 2 = 1 + 0,336 741 498 060 8;
  • 60) 0,336 741 498 060 8 × 2 = 0 + 0,673 482 996 121 6;
  • 61) 0,673 482 996 121 6 × 2 = 1 + 0,346 965 992 243 2;
  • 62) 0,346 965 992 243 2 × 2 = 0 + 0,693 931 984 486 4;
  • 63) 0,693 931 984 486 4 × 2 = 1 + 0,387 863 968 972 8;
  • 64) 0,387 863 968 972 8 × 2 = 0 + 0,775 727 937 945 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 899 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 899 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 899 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 899 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0010 1001 0111 0000 1010 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 892 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100