-0,000 282 005 899 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 899 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 899 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 899 4| = 0,000 282 005 899 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 899 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 899 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 798 8;
  • 2) 0,000 564 011 798 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 597 6;
  • 3) 0,001 128 023 597 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 195 2;
  • 4) 0,002 256 047 195 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 390 4;
  • 5) 0,004 512 094 390 4 × 2 = 0 + 0,009 024 188 780 8;
  • 6) 0,009 024 188 780 8 × 2 = 0 + 0,018 048 377 561 6;
  • 7) 0,018 048 377 561 6 × 2 = 0 + 0,036 096 755 123 2;
  • 8) 0,036 096 755 123 2 × 2 = 0 + 0,072 193 510 246 4;
  • 9) 0,072 193 510 246 4 × 2 = 0 + 0,144 387 020 492 8;
  • 10) 0,144 387 020 492 8 × 2 = 0 + 0,288 774 040 985 6;
  • 11) 0,288 774 040 985 6 × 2 = 0 + 0,577 548 081 971 2;
  • 12) 0,577 548 081 971 2 × 2 = 1 + 0,155 096 163 942 4;
  • 13) 0,155 096 163 942 4 × 2 = 0 + 0,310 192 327 884 8;
  • 14) 0,310 192 327 884 8 × 2 = 0 + 0,620 384 655 769 6;
  • 15) 0,620 384 655 769 6 × 2 = 1 + 0,240 769 311 539 2;
  • 16) 0,240 769 311 539 2 × 2 = 0 + 0,481 538 623 078 4;
  • 17) 0,481 538 623 078 4 × 2 = 0 + 0,963 077 246 156 8;
  • 18) 0,963 077 246 156 8 × 2 = 1 + 0,926 154 492 313 6;
  • 19) 0,926 154 492 313 6 × 2 = 1 + 0,852 308 984 627 2;
  • 20) 0,852 308 984 627 2 × 2 = 1 + 0,704 617 969 254 4;
  • 21) 0,704 617 969 254 4 × 2 = 1 + 0,409 235 938 508 8;
  • 22) 0,409 235 938 508 8 × 2 = 0 + 0,818 471 877 017 6;
  • 23) 0,818 471 877 017 6 × 2 = 1 + 0,636 943 754 035 2;
  • 24) 0,636 943 754 035 2 × 2 = 1 + 0,273 887 508 070 4;
  • 25) 0,273 887 508 070 4 × 2 = 0 + 0,547 775 016 140 8;
  • 26) 0,547 775 016 140 8 × 2 = 1 + 0,095 550 032 281 6;
  • 27) 0,095 550 032 281 6 × 2 = 0 + 0,191 100 064 563 2;
  • 28) 0,191 100 064 563 2 × 2 = 0 + 0,382 200 129 126 4;
  • 29) 0,382 200 129 126 4 × 2 = 0 + 0,764 400 258 252 8;
  • 30) 0,764 400 258 252 8 × 2 = 1 + 0,528 800 516 505 6;
  • 31) 0,528 800 516 505 6 × 2 = 1 + 0,057 601 033 011 2;
  • 32) 0,057 601 033 011 2 × 2 = 0 + 0,115 202 066 022 4;
  • 33) 0,115 202 066 022 4 × 2 = 0 + 0,230 404 132 044 8;
  • 34) 0,230 404 132 044 8 × 2 = 0 + 0,460 808 264 089 6;
  • 35) 0,460 808 264 089 6 × 2 = 0 + 0,921 616 528 179 2;
  • 36) 0,921 616 528 179 2 × 2 = 1 + 0,843 233 056 358 4;
  • 37) 0,843 233 056 358 4 × 2 = 1 + 0,686 466 112 716 8;
  • 38) 0,686 466 112 716 8 × 2 = 1 + 0,372 932 225 433 6;
  • 39) 0,372 932 225 433 6 × 2 = 0 + 0,745 864 450 867 2;
  • 40) 0,745 864 450 867 2 × 2 = 1 + 0,491 728 901 734 4;
  • 41) 0,491 728 901 734 4 × 2 = 0 + 0,983 457 803 468 8;
  • 42) 0,983 457 803 468 8 × 2 = 1 + 0,966 915 606 937 6;
  • 43) 0,966 915 606 937 6 × 2 = 1 + 0,933 831 213 875 2;
  • 44) 0,933 831 213 875 2 × 2 = 1 + 0,867 662 427 750 4;
  • 45) 0,867 662 427 750 4 × 2 = 1 + 0,735 324 855 500 8;
  • 46) 0,735 324 855 500 8 × 2 = 1 + 0,470 649 711 001 6;
  • 47) 0,470 649 711 001 6 × 2 = 0 + 0,941 299 422 003 2;
  • 48) 0,941 299 422 003 2 × 2 = 1 + 0,882 598 844 006 4;
  • 49) 0,882 598 844 006 4 × 2 = 1 + 0,765 197 688 012 8;
  • 50) 0,765 197 688 012 8 × 2 = 1 + 0,530 395 376 025 6;
  • 51) 0,530 395 376 025 6 × 2 = 1 + 0,060 790 752 051 2;
  • 52) 0,060 790 752 051 2 × 2 = 0 + 0,121 581 504 102 4;
  • 53) 0,121 581 504 102 4 × 2 = 0 + 0,243 163 008 204 8;
  • 54) 0,243 163 008 204 8 × 2 = 0 + 0,486 326 016 409 6;
  • 55) 0,486 326 016 409 6 × 2 = 0 + 0,972 652 032 819 2;
  • 56) 0,972 652 032 819 2 × 2 = 1 + 0,945 304 065 638 4;
  • 57) 0,945 304 065 638 4 × 2 = 1 + 0,890 608 131 276 8;
  • 58) 0,890 608 131 276 8 × 2 = 1 + 0,781 216 262 553 6;
  • 59) 0,781 216 262 553 6 × 2 = 1 + 0,562 432 525 107 2;
  • 60) 0,562 432 525 107 2 × 2 = 1 + 0,124 865 050 214 4;
  • 61) 0,124 865 050 214 4 × 2 = 0 + 0,249 730 100 428 8;
  • 62) 0,249 730 100 428 8 × 2 = 0 + 0,499 460 200 857 6;
  • 63) 0,499 460 200 857 6 × 2 = 0 + 0,998 920 401 715 2;
  • 64) 0,998 920 401 715 2 × 2 = 1 + 0,997 840 803 430 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 899 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 899 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 899 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 899 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0111 1101 1110 0001 1111 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 898 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100