-0,000 282 005 901 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 901 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 901 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 901 9| = 0,000 282 005 901 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 901 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 901 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 803 8;
  • 2) 0,000 564 011 803 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 607 6;
  • 3) 0,001 128 023 607 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 215 2;
  • 4) 0,002 256 047 215 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 430 4;
  • 5) 0,004 512 094 430 4 × 2 = 0 + 0,009 024 188 860 8;
  • 6) 0,009 024 188 860 8 × 2 = 0 + 0,018 048 377 721 6;
  • 7) 0,018 048 377 721 6 × 2 = 0 + 0,036 096 755 443 2;
  • 8) 0,036 096 755 443 2 × 2 = 0 + 0,072 193 510 886 4;
  • 9) 0,072 193 510 886 4 × 2 = 0 + 0,144 387 021 772 8;
  • 10) 0,144 387 021 772 8 × 2 = 0 + 0,288 774 043 545 6;
  • 11) 0,288 774 043 545 6 × 2 = 0 + 0,577 548 087 091 2;
  • 12) 0,577 548 087 091 2 × 2 = 1 + 0,155 096 174 182 4;
  • 13) 0,155 096 174 182 4 × 2 = 0 + 0,310 192 348 364 8;
  • 14) 0,310 192 348 364 8 × 2 = 0 + 0,620 384 696 729 6;
  • 15) 0,620 384 696 729 6 × 2 = 1 + 0,240 769 393 459 2;
  • 16) 0,240 769 393 459 2 × 2 = 0 + 0,481 538 786 918 4;
  • 17) 0,481 538 786 918 4 × 2 = 0 + 0,963 077 573 836 8;
  • 18) 0,963 077 573 836 8 × 2 = 1 + 0,926 155 147 673 6;
  • 19) 0,926 155 147 673 6 × 2 = 1 + 0,852 310 295 347 2;
  • 20) 0,852 310 295 347 2 × 2 = 1 + 0,704 620 590 694 4;
  • 21) 0,704 620 590 694 4 × 2 = 1 + 0,409 241 181 388 8;
  • 22) 0,409 241 181 388 8 × 2 = 0 + 0,818 482 362 777 6;
  • 23) 0,818 482 362 777 6 × 2 = 1 + 0,636 964 725 555 2;
  • 24) 0,636 964 725 555 2 × 2 = 1 + 0,273 929 451 110 4;
  • 25) 0,273 929 451 110 4 × 2 = 0 + 0,547 858 902 220 8;
  • 26) 0,547 858 902 220 8 × 2 = 1 + 0,095 717 804 441 6;
  • 27) 0,095 717 804 441 6 × 2 = 0 + 0,191 435 608 883 2;
  • 28) 0,191 435 608 883 2 × 2 = 0 + 0,382 871 217 766 4;
  • 29) 0,382 871 217 766 4 × 2 = 0 + 0,765 742 435 532 8;
  • 30) 0,765 742 435 532 8 × 2 = 1 + 0,531 484 871 065 6;
  • 31) 0,531 484 871 065 6 × 2 = 1 + 0,062 969 742 131 2;
  • 32) 0,062 969 742 131 2 × 2 = 0 + 0,125 939 484 262 4;
  • 33) 0,125 939 484 262 4 × 2 = 0 + 0,251 878 968 524 8;
  • 34) 0,251 878 968 524 8 × 2 = 0 + 0,503 757 937 049 6;
  • 35) 0,503 757 937 049 6 × 2 = 1 + 0,007 515 874 099 2;
  • 36) 0,007 515 874 099 2 × 2 = 0 + 0,015 031 748 198 4;
  • 37) 0,015 031 748 198 4 × 2 = 0 + 0,030 063 496 396 8;
  • 38) 0,030 063 496 396 8 × 2 = 0 + 0,060 126 992 793 6;
  • 39) 0,060 126 992 793 6 × 2 = 0 + 0,120 253 985 587 2;
  • 40) 0,120 253 985 587 2 × 2 = 0 + 0,240 507 971 174 4;
  • 41) 0,240 507 971 174 4 × 2 = 0 + 0,481 015 942 348 8;
  • 42) 0,481 015 942 348 8 × 2 = 0 + 0,962 031 884 697 6;
  • 43) 0,962 031 884 697 6 × 2 = 1 + 0,924 063 769 395 2;
  • 44) 0,924 063 769 395 2 × 2 = 1 + 0,848 127 538 790 4;
  • 45) 0,848 127 538 790 4 × 2 = 1 + 0,696 255 077 580 8;
  • 46) 0,696 255 077 580 8 × 2 = 1 + 0,392 510 155 161 6;
  • 47) 0,392 510 155 161 6 × 2 = 0 + 0,785 020 310 323 2;
  • 48) 0,785 020 310 323 2 × 2 = 1 + 0,570 040 620 646 4;
  • 49) 0,570 040 620 646 4 × 2 = 1 + 0,140 081 241 292 8;
  • 50) 0,140 081 241 292 8 × 2 = 0 + 0,280 162 482 585 6;
  • 51) 0,280 162 482 585 6 × 2 = 0 + 0,560 324 965 171 2;
  • 52) 0,560 324 965 171 2 × 2 = 1 + 0,120 649 930 342 4;
  • 53) 0,120 649 930 342 4 × 2 = 0 + 0,241 299 860 684 8;
  • 54) 0,241 299 860 684 8 × 2 = 0 + 0,482 599 721 369 6;
  • 55) 0,482 599 721 369 6 × 2 = 0 + 0,965 199 442 739 2;
  • 56) 0,965 199 442 739 2 × 2 = 1 + 0,930 398 885 478 4;
  • 57) 0,930 398 885 478 4 × 2 = 1 + 0,860 797 770 956 8;
  • 58) 0,860 797 770 956 8 × 2 = 1 + 0,721 595 541 913 6;
  • 59) 0,721 595 541 913 6 × 2 = 1 + 0,443 191 083 827 2;
  • 60) 0,443 191 083 827 2 × 2 = 0 + 0,886 382 167 654 4;
  • 61) 0,886 382 167 654 4 × 2 = 1 + 0,772 764 335 308 8;
  • 62) 0,772 764 335 308 8 × 2 = 1 + 0,545 528 670 617 6;
  • 63) 0,545 528 670 617 6 × 2 = 1 + 0,091 057 341 235 2;
  • 64) 0,091 057 341 235 2 × 2 = 0 + 0,182 114 682 470 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 901 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 901 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 901 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 901 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 0011 1101 1001 0001 1110 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 898 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100