-0,000 282 005 902 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 902 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 902 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 902 7| = 0,000 282 005 902 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 902 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 902 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 805 4;
  • 2) 0,000 564 011 805 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 610 8;
  • 3) 0,001 128 023 610 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 221 6;
  • 4) 0,002 256 047 221 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 443 2;
  • 5) 0,004 512 094 443 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 886 4;
  • 6) 0,009 024 188 886 4 × 2 = 0 + 0,018 048 377 772 8;
  • 7) 0,018 048 377 772 8 × 2 = 0 + 0,036 096 755 545 6;
  • 8) 0,036 096 755 545 6 × 2 = 0 + 0,072 193 511 091 2;
  • 9) 0,072 193 511 091 2 × 2 = 0 + 0,144 387 022 182 4;
  • 10) 0,144 387 022 182 4 × 2 = 0 + 0,288 774 044 364 8;
  • 11) 0,288 774 044 364 8 × 2 = 0 + 0,577 548 088 729 6;
  • 12) 0,577 548 088 729 6 × 2 = 1 + 0,155 096 177 459 2;
  • 13) 0,155 096 177 459 2 × 2 = 0 + 0,310 192 354 918 4;
  • 14) 0,310 192 354 918 4 × 2 = 0 + 0,620 384 709 836 8;
  • 15) 0,620 384 709 836 8 × 2 = 1 + 0,240 769 419 673 6;
  • 16) 0,240 769 419 673 6 × 2 = 0 + 0,481 538 839 347 2;
  • 17) 0,481 538 839 347 2 × 2 = 0 + 0,963 077 678 694 4;
  • 18) 0,963 077 678 694 4 × 2 = 1 + 0,926 155 357 388 8;
  • 19) 0,926 155 357 388 8 × 2 = 1 + 0,852 310 714 777 6;
  • 20) 0,852 310 714 777 6 × 2 = 1 + 0,704 621 429 555 2;
  • 21) 0,704 621 429 555 2 × 2 = 1 + 0,409 242 859 110 4;
  • 22) 0,409 242 859 110 4 × 2 = 0 + 0,818 485 718 220 8;
  • 23) 0,818 485 718 220 8 × 2 = 1 + 0,636 971 436 441 6;
  • 24) 0,636 971 436 441 6 × 2 = 1 + 0,273 942 872 883 2;
  • 25) 0,273 942 872 883 2 × 2 = 0 + 0,547 885 745 766 4;
  • 26) 0,547 885 745 766 4 × 2 = 1 + 0,095 771 491 532 8;
  • 27) 0,095 771 491 532 8 × 2 = 0 + 0,191 542 983 065 6;
  • 28) 0,191 542 983 065 6 × 2 = 0 + 0,383 085 966 131 2;
  • 29) 0,383 085 966 131 2 × 2 = 0 + 0,766 171 932 262 4;
  • 30) 0,766 171 932 262 4 × 2 = 1 + 0,532 343 864 524 8;
  • 31) 0,532 343 864 524 8 × 2 = 1 + 0,064 687 729 049 6;
  • 32) 0,064 687 729 049 6 × 2 = 0 + 0,129 375 458 099 2;
  • 33) 0,129 375 458 099 2 × 2 = 0 + 0,258 750 916 198 4;
  • 34) 0,258 750 916 198 4 × 2 = 0 + 0,517 501 832 396 8;
  • 35) 0,517 501 832 396 8 × 2 = 1 + 0,035 003 664 793 6;
  • 36) 0,035 003 664 793 6 × 2 = 0 + 0,070 007 329 587 2;
  • 37) 0,070 007 329 587 2 × 2 = 0 + 0,140 014 659 174 4;
  • 38) 0,140 014 659 174 4 × 2 = 0 + 0,280 029 318 348 8;
  • 39) 0,280 029 318 348 8 × 2 = 0 + 0,560 058 636 697 6;
  • 40) 0,560 058 636 697 6 × 2 = 1 + 0,120 117 273 395 2;
  • 41) 0,120 117 273 395 2 × 2 = 0 + 0,240 234 546 790 4;
  • 42) 0,240 234 546 790 4 × 2 = 0 + 0,480 469 093 580 8;
  • 43) 0,480 469 093 580 8 × 2 = 0 + 0,960 938 187 161 6;
  • 44) 0,960 938 187 161 6 × 2 = 1 + 0,921 876 374 323 2;
  • 45) 0,921 876 374 323 2 × 2 = 1 + 0,843 752 748 646 4;
  • 46) 0,843 752 748 646 4 × 2 = 1 + 0,687 505 497 292 8;
  • 47) 0,687 505 497 292 8 × 2 = 1 + 0,375 010 994 585 6;
  • 48) 0,375 010 994 585 6 × 2 = 0 + 0,750 021 989 171 2;
  • 49) 0,750 021 989 171 2 × 2 = 1 + 0,500 043 978 342 4;
  • 50) 0,500 043 978 342 4 × 2 = 1 + 0,000 087 956 684 8;
  • 51) 0,000 087 956 684 8 × 2 = 0 + 0,000 175 913 369 6;
  • 52) 0,000 175 913 369 6 × 2 = 0 + 0,000 351 826 739 2;
  • 53) 0,000 351 826 739 2 × 2 = 0 + 0,000 703 653 478 4;
  • 54) 0,000 703 653 478 4 × 2 = 0 + 0,001 407 306 956 8;
  • 55) 0,001 407 306 956 8 × 2 = 0 + 0,002 814 613 913 6;
  • 56) 0,002 814 613 913 6 × 2 = 0 + 0,005 629 227 827 2;
  • 57) 0,005 629 227 827 2 × 2 = 0 + 0,011 258 455 654 4;
  • 58) 0,011 258 455 654 4 × 2 = 0 + 0,022 516 911 308 8;
  • 59) 0,022 516 911 308 8 × 2 = 0 + 0,045 033 822 617 6;
  • 60) 0,045 033 822 617 6 × 2 = 0 + 0,090 067 645 235 2;
  • 61) 0,090 067 645 235 2 × 2 = 0 + 0,180 135 290 470 4;
  • 62) 0,180 135 290 470 4 × 2 = 0 + 0,360 270 580 940 8;
  • 63) 0,360 270 580 940 8 × 2 = 0 + 0,720 541 161 881 6;
  • 64) 0,720 541 161 881 6 × 2 = 1 + 0,441 082 323 763 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 902 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 902 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 902 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 902 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0001 1110 1100 0000 0000 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 910 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100