-0,000 282 005 910 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 910 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 910 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 910 7| = 0,000 282 005 910 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 910 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 910 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 821 4;
  • 2) 0,000 564 011 821 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 642 8;
  • 3) 0,001 128 023 642 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 285 6;
  • 4) 0,002 256 047 285 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 571 2;
  • 5) 0,004 512 094 571 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 142 4;
  • 6) 0,009 024 189 142 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 284 8;
  • 7) 0,018 048 378 284 8 × 2 = 0 + 0,036 096 756 569 6;
  • 8) 0,036 096 756 569 6 × 2 = 0 + 0,072 193 513 139 2;
  • 9) 0,072 193 513 139 2 × 2 = 0 + 0,144 387 026 278 4;
  • 10) 0,144 387 026 278 4 × 2 = 0 + 0,288 774 052 556 8;
  • 11) 0,288 774 052 556 8 × 2 = 0 + 0,577 548 105 113 6;
  • 12) 0,577 548 105 113 6 × 2 = 1 + 0,155 096 210 227 2;
  • 13) 0,155 096 210 227 2 × 2 = 0 + 0,310 192 420 454 4;
  • 14) 0,310 192 420 454 4 × 2 = 0 + 0,620 384 840 908 8;
  • 15) 0,620 384 840 908 8 × 2 = 1 + 0,240 769 681 817 6;
  • 16) 0,240 769 681 817 6 × 2 = 0 + 0,481 539 363 635 2;
  • 17) 0,481 539 363 635 2 × 2 = 0 + 0,963 078 727 270 4;
  • 18) 0,963 078 727 270 4 × 2 = 1 + 0,926 157 454 540 8;
  • 19) 0,926 157 454 540 8 × 2 = 1 + 0,852 314 909 081 6;
  • 20) 0,852 314 909 081 6 × 2 = 1 + 0,704 629 818 163 2;
  • 21) 0,704 629 818 163 2 × 2 = 1 + 0,409 259 636 326 4;
  • 22) 0,409 259 636 326 4 × 2 = 0 + 0,818 519 272 652 8;
  • 23) 0,818 519 272 652 8 × 2 = 1 + 0,637 038 545 305 6;
  • 24) 0,637 038 545 305 6 × 2 = 1 + 0,274 077 090 611 2;
  • 25) 0,274 077 090 611 2 × 2 = 0 + 0,548 154 181 222 4;
  • 26) 0,548 154 181 222 4 × 2 = 1 + 0,096 308 362 444 8;
  • 27) 0,096 308 362 444 8 × 2 = 0 + 0,192 616 724 889 6;
  • 28) 0,192 616 724 889 6 × 2 = 0 + 0,385 233 449 779 2;
  • 29) 0,385 233 449 779 2 × 2 = 0 + 0,770 466 899 558 4;
  • 30) 0,770 466 899 558 4 × 2 = 1 + 0,540 933 799 116 8;
  • 31) 0,540 933 799 116 8 × 2 = 1 + 0,081 867 598 233 6;
  • 32) 0,081 867 598 233 6 × 2 = 0 + 0,163 735 196 467 2;
  • 33) 0,163 735 196 467 2 × 2 = 0 + 0,327 470 392 934 4;
  • 34) 0,327 470 392 934 4 × 2 = 0 + 0,654 940 785 868 8;
  • 35) 0,654 940 785 868 8 × 2 = 1 + 0,309 881 571 737 6;
  • 36) 0,309 881 571 737 6 × 2 = 0 + 0,619 763 143 475 2;
  • 37) 0,619 763 143 475 2 × 2 = 1 + 0,239 526 286 950 4;
  • 38) 0,239 526 286 950 4 × 2 = 0 + 0,479 052 573 900 8;
  • 39) 0,479 052 573 900 8 × 2 = 0 + 0,958 105 147 801 6;
  • 40) 0,958 105 147 801 6 × 2 = 1 + 0,916 210 295 603 2;
  • 41) 0,916 210 295 603 2 × 2 = 1 + 0,832 420 591 206 4;
  • 42) 0,832 420 591 206 4 × 2 = 1 + 0,664 841 182 412 8;
  • 43) 0,664 841 182 412 8 × 2 = 1 + 0,329 682 364 825 6;
  • 44) 0,329 682 364 825 6 × 2 = 0 + 0,659 364 729 651 2;
  • 45) 0,659 364 729 651 2 × 2 = 1 + 0,318 729 459 302 4;
  • 46) 0,318 729 459 302 4 × 2 = 0 + 0,637 458 918 604 8;
  • 47) 0,637 458 918 604 8 × 2 = 1 + 0,274 917 837 209 6;
  • 48) 0,274 917 837 209 6 × 2 = 0 + 0,549 835 674 419 2;
  • 49) 0,549 835 674 419 2 × 2 = 1 + 0,099 671 348 838 4;
  • 50) 0,099 671 348 838 4 × 2 = 0 + 0,199 342 697 676 8;
  • 51) 0,199 342 697 676 8 × 2 = 0 + 0,398 685 395 353 6;
  • 52) 0,398 685 395 353 6 × 2 = 0 + 0,797 370 790 707 2;
  • 53) 0,797 370 790 707 2 × 2 = 1 + 0,594 741 581 414 4;
  • 54) 0,594 741 581 414 4 × 2 = 1 + 0,189 483 162 828 8;
  • 55) 0,189 483 162 828 8 × 2 = 0 + 0,378 966 325 657 6;
  • 56) 0,378 966 325 657 6 × 2 = 0 + 0,757 932 651 315 2;
  • 57) 0,757 932 651 315 2 × 2 = 1 + 0,515 865 302 630 4;
  • 58) 0,515 865 302 630 4 × 2 = 1 + 0,031 730 605 260 8;
  • 59) 0,031 730 605 260 8 × 2 = 0 + 0,063 461 210 521 6;
  • 60) 0,063 461 210 521 6 × 2 = 0 + 0,126 922 421 043 2;
  • 61) 0,126 922 421 043 2 × 2 = 0 + 0,253 844 842 086 4;
  • 62) 0,253 844 842 086 4 × 2 = 0 + 0,507 689 684 172 8;
  • 63) 0,507 689 684 172 8 × 2 = 1 + 0,015 379 368 345 6;
  • 64) 0,015 379 368 345 6 × 2 = 0 + 0,030 758 736 691 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 910 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 910 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 910 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 910 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1110 1010 1000 1100 1100 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 909 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100