-0,000 282 005 903 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 903 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 903 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 903 9| = 0,000 282 005 903 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 903 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 903 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 807 8;
  • 2) 0,000 564 011 807 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 615 6;
  • 3) 0,001 128 023 615 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 231 2;
  • 4) 0,002 256 047 231 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 462 4;
  • 5) 0,004 512 094 462 4 × 2 = 0 + 0,009 024 188 924 8;
  • 6) 0,009 024 188 924 8 × 2 = 0 + 0,018 048 377 849 6;
  • 7) 0,018 048 377 849 6 × 2 = 0 + 0,036 096 755 699 2;
  • 8) 0,036 096 755 699 2 × 2 = 0 + 0,072 193 511 398 4;
  • 9) 0,072 193 511 398 4 × 2 = 0 + 0,144 387 022 796 8;
  • 10) 0,144 387 022 796 8 × 2 = 0 + 0,288 774 045 593 6;
  • 11) 0,288 774 045 593 6 × 2 = 0 + 0,577 548 091 187 2;
  • 12) 0,577 548 091 187 2 × 2 = 1 + 0,155 096 182 374 4;
  • 13) 0,155 096 182 374 4 × 2 = 0 + 0,310 192 364 748 8;
  • 14) 0,310 192 364 748 8 × 2 = 0 + 0,620 384 729 497 6;
  • 15) 0,620 384 729 497 6 × 2 = 1 + 0,240 769 458 995 2;
  • 16) 0,240 769 458 995 2 × 2 = 0 + 0,481 538 917 990 4;
  • 17) 0,481 538 917 990 4 × 2 = 0 + 0,963 077 835 980 8;
  • 18) 0,963 077 835 980 8 × 2 = 1 + 0,926 155 671 961 6;
  • 19) 0,926 155 671 961 6 × 2 = 1 + 0,852 311 343 923 2;
  • 20) 0,852 311 343 923 2 × 2 = 1 + 0,704 622 687 846 4;
  • 21) 0,704 622 687 846 4 × 2 = 1 + 0,409 245 375 692 8;
  • 22) 0,409 245 375 692 8 × 2 = 0 + 0,818 490 751 385 6;
  • 23) 0,818 490 751 385 6 × 2 = 1 + 0,636 981 502 771 2;
  • 24) 0,636 981 502 771 2 × 2 = 1 + 0,273 963 005 542 4;
  • 25) 0,273 963 005 542 4 × 2 = 0 + 0,547 926 011 084 8;
  • 26) 0,547 926 011 084 8 × 2 = 1 + 0,095 852 022 169 6;
  • 27) 0,095 852 022 169 6 × 2 = 0 + 0,191 704 044 339 2;
  • 28) 0,191 704 044 339 2 × 2 = 0 + 0,383 408 088 678 4;
  • 29) 0,383 408 088 678 4 × 2 = 0 + 0,766 816 177 356 8;
  • 30) 0,766 816 177 356 8 × 2 = 1 + 0,533 632 354 713 6;
  • 31) 0,533 632 354 713 6 × 2 = 1 + 0,067 264 709 427 2;
  • 32) 0,067 264 709 427 2 × 2 = 0 + 0,134 529 418 854 4;
  • 33) 0,134 529 418 854 4 × 2 = 0 + 0,269 058 837 708 8;
  • 34) 0,269 058 837 708 8 × 2 = 0 + 0,538 117 675 417 6;
  • 35) 0,538 117 675 417 6 × 2 = 1 + 0,076 235 350 835 2;
  • 36) 0,076 235 350 835 2 × 2 = 0 + 0,152 470 701 670 4;
  • 37) 0,152 470 701 670 4 × 2 = 0 + 0,304 941 403 340 8;
  • 38) 0,304 941 403 340 8 × 2 = 0 + 0,609 882 806 681 6;
  • 39) 0,609 882 806 681 6 × 2 = 1 + 0,219 765 613 363 2;
  • 40) 0,219 765 613 363 2 × 2 = 0 + 0,439 531 226 726 4;
  • 41) 0,439 531 226 726 4 × 2 = 0 + 0,879 062 453 452 8;
  • 42) 0,879 062 453 452 8 × 2 = 1 + 0,758 124 906 905 6;
  • 43) 0,758 124 906 905 6 × 2 = 1 + 0,516 249 813 811 2;
  • 44) 0,516 249 813 811 2 × 2 = 1 + 0,032 499 627 622 4;
  • 45) 0,032 499 627 622 4 × 2 = 0 + 0,064 999 255 244 8;
  • 46) 0,064 999 255 244 8 × 2 = 0 + 0,129 998 510 489 6;
  • 47) 0,129 998 510 489 6 × 2 = 0 + 0,259 997 020 979 2;
  • 48) 0,259 997 020 979 2 × 2 = 0 + 0,519 994 041 958 4;
  • 49) 0,519 994 041 958 4 × 2 = 1 + 0,039 988 083 916 8;
  • 50) 0,039 988 083 916 8 × 2 = 0 + 0,079 976 167 833 6;
  • 51) 0,079 976 167 833 6 × 2 = 0 + 0,159 952 335 667 2;
  • 52) 0,159 952 335 667 2 × 2 = 0 + 0,319 904 671 334 4;
  • 53) 0,319 904 671 334 4 × 2 = 0 + 0,639 809 342 668 8;
  • 54) 0,639 809 342 668 8 × 2 = 1 + 0,279 618 685 337 6;
  • 55) 0,279 618 685 337 6 × 2 = 0 + 0,559 237 370 675 2;
  • 56) 0,559 237 370 675 2 × 2 = 1 + 0,118 474 741 350 4;
  • 57) 0,118 474 741 350 4 × 2 = 0 + 0,236 949 482 700 8;
  • 58) 0,236 949 482 700 8 × 2 = 0 + 0,473 898 965 401 6;
  • 59) 0,473 898 965 401 6 × 2 = 0 + 0,947 797 930 803 2;
  • 60) 0,947 797 930 803 2 × 2 = 1 + 0,895 595 861 606 4;
  • 61) 0,895 595 861 606 4 × 2 = 1 + 0,791 191 723 212 8;
  • 62) 0,791 191 723 212 8 × 2 = 1 + 0,582 383 446 425 6;
  • 63) 0,582 383 446 425 6 × 2 = 1 + 0,164 766 892 851 2;
  • 64) 0,164 766 892 851 2 × 2 = 0 + 0,329 533 785 702 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 903 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 903 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 903 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 903 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0010 0111 0000 1000 0101 0001 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 907 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100