-0,000 282 005 905 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 905 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 905 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 905 2| = 0,000 282 005 905 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 905 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 905 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 810 4;
  • 2) 0,000 564 011 810 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 620 8;
  • 3) 0,001 128 023 620 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 241 6;
  • 4) 0,002 256 047 241 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 483 2;
  • 5) 0,004 512 094 483 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 966 4;
  • 6) 0,009 024 188 966 4 × 2 = 0 + 0,018 048 377 932 8;
  • 7) 0,018 048 377 932 8 × 2 = 0 + 0,036 096 755 865 6;
  • 8) 0,036 096 755 865 6 × 2 = 0 + 0,072 193 511 731 2;
  • 9) 0,072 193 511 731 2 × 2 = 0 + 0,144 387 023 462 4;
  • 10) 0,144 387 023 462 4 × 2 = 0 + 0,288 774 046 924 8;
  • 11) 0,288 774 046 924 8 × 2 = 0 + 0,577 548 093 849 6;
  • 12) 0,577 548 093 849 6 × 2 = 1 + 0,155 096 187 699 2;
  • 13) 0,155 096 187 699 2 × 2 = 0 + 0,310 192 375 398 4;
  • 14) 0,310 192 375 398 4 × 2 = 0 + 0,620 384 750 796 8;
  • 15) 0,620 384 750 796 8 × 2 = 1 + 0,240 769 501 593 6;
  • 16) 0,240 769 501 593 6 × 2 = 0 + 0,481 539 003 187 2;
  • 17) 0,481 539 003 187 2 × 2 = 0 + 0,963 078 006 374 4;
  • 18) 0,963 078 006 374 4 × 2 = 1 + 0,926 156 012 748 8;
  • 19) 0,926 156 012 748 8 × 2 = 1 + 0,852 312 025 497 6;
  • 20) 0,852 312 025 497 6 × 2 = 1 + 0,704 624 050 995 2;
  • 21) 0,704 624 050 995 2 × 2 = 1 + 0,409 248 101 990 4;
  • 22) 0,409 248 101 990 4 × 2 = 0 + 0,818 496 203 980 8;
  • 23) 0,818 496 203 980 8 × 2 = 1 + 0,636 992 407 961 6;
  • 24) 0,636 992 407 961 6 × 2 = 1 + 0,273 984 815 923 2;
  • 25) 0,273 984 815 923 2 × 2 = 0 + 0,547 969 631 846 4;
  • 26) 0,547 969 631 846 4 × 2 = 1 + 0,095 939 263 692 8;
  • 27) 0,095 939 263 692 8 × 2 = 0 + 0,191 878 527 385 6;
  • 28) 0,191 878 527 385 6 × 2 = 0 + 0,383 757 054 771 2;
  • 29) 0,383 757 054 771 2 × 2 = 0 + 0,767 514 109 542 4;
  • 30) 0,767 514 109 542 4 × 2 = 1 + 0,535 028 219 084 8;
  • 31) 0,535 028 219 084 8 × 2 = 1 + 0,070 056 438 169 6;
  • 32) 0,070 056 438 169 6 × 2 = 0 + 0,140 112 876 339 2;
  • 33) 0,140 112 876 339 2 × 2 = 0 + 0,280 225 752 678 4;
  • 34) 0,280 225 752 678 4 × 2 = 0 + 0,560 451 505 356 8;
  • 35) 0,560 451 505 356 8 × 2 = 1 + 0,120 903 010 713 6;
  • 36) 0,120 903 010 713 6 × 2 = 0 + 0,241 806 021 427 2;
  • 37) 0,241 806 021 427 2 × 2 = 0 + 0,483 612 042 854 4;
  • 38) 0,483 612 042 854 4 × 2 = 0 + 0,967 224 085 708 8;
  • 39) 0,967 224 085 708 8 × 2 = 1 + 0,934 448 171 417 6;
  • 40) 0,934 448 171 417 6 × 2 = 1 + 0,868 896 342 835 2;
  • 41) 0,868 896 342 835 2 × 2 = 1 + 0,737 792 685 670 4;
  • 42) 0,737 792 685 670 4 × 2 = 1 + 0,475 585 371 340 8;
  • 43) 0,475 585 371 340 8 × 2 = 0 + 0,951 170 742 681 6;
  • 44) 0,951 170 742 681 6 × 2 = 1 + 0,902 341 485 363 2;
  • 45) 0,902 341 485 363 2 × 2 = 1 + 0,804 682 970 726 4;
  • 46) 0,804 682 970 726 4 × 2 = 1 + 0,609 365 941 452 8;
  • 47) 0,609 365 941 452 8 × 2 = 1 + 0,218 731 882 905 6;
  • 48) 0,218 731 882 905 6 × 2 = 0 + 0,437 463 765 811 2;
  • 49) 0,437 463 765 811 2 × 2 = 0 + 0,874 927 531 622 4;
  • 50) 0,874 927 531 622 4 × 2 = 1 + 0,749 855 063 244 8;
  • 51) 0,749 855 063 244 8 × 2 = 1 + 0,499 710 126 489 6;
  • 52) 0,499 710 126 489 6 × 2 = 0 + 0,999 420 252 979 2;
  • 53) 0,999 420 252 979 2 × 2 = 1 + 0,998 840 505 958 4;
  • 54) 0,998 840 505 958 4 × 2 = 1 + 0,997 681 011 916 8;
  • 55) 0,997 681 011 916 8 × 2 = 1 + 0,995 362 023 833 6;
  • 56) 0,995 362 023 833 6 × 2 = 1 + 0,990 724 047 667 2;
  • 57) 0,990 724 047 667 2 × 2 = 1 + 0,981 448 095 334 4;
  • 58) 0,981 448 095 334 4 × 2 = 1 + 0,962 896 190 668 8;
  • 59) 0,962 896 190 668 8 × 2 = 1 + 0,925 792 381 337 6;
  • 60) 0,925 792 381 337 6 × 2 = 1 + 0,851 584 762 675 2;
  • 61) 0,851 584 762 675 2 × 2 = 1 + 0,703 169 525 350 4;
  • 62) 0,703 169 525 350 4 × 2 = 1 + 0,406 339 050 700 8;
  • 63) 0,406 339 050 700 8 × 2 = 0 + 0,812 678 101 401 6;
  • 64) 0,812 678 101 401 6 × 2 = 1 + 0,625 356 202 803 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 905 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 905 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 905 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 905 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 1101 1110 0110 1111 1111 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 904 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100