-0,000 282 005 906 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 906 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 906 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 906 1| = 0,000 282 005 906 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 906 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 906 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 812 2;
  • 2) 0,000 564 011 812 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 624 4;
  • 3) 0,001 128 023 624 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 248 8;
  • 4) 0,002 256 047 248 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 497 6;
  • 5) 0,004 512 094 497 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 995 2;
  • 6) 0,009 024 188 995 2 × 2 = 0 + 0,018 048 377 990 4;
  • 7) 0,018 048 377 990 4 × 2 = 0 + 0,036 096 755 980 8;
  • 8) 0,036 096 755 980 8 × 2 = 0 + 0,072 193 511 961 6;
  • 9) 0,072 193 511 961 6 × 2 = 0 + 0,144 387 023 923 2;
  • 10) 0,144 387 023 923 2 × 2 = 0 + 0,288 774 047 846 4;
  • 11) 0,288 774 047 846 4 × 2 = 0 + 0,577 548 095 692 8;
  • 12) 0,577 548 095 692 8 × 2 = 1 + 0,155 096 191 385 6;
  • 13) 0,155 096 191 385 6 × 2 = 0 + 0,310 192 382 771 2;
  • 14) 0,310 192 382 771 2 × 2 = 0 + 0,620 384 765 542 4;
  • 15) 0,620 384 765 542 4 × 2 = 1 + 0,240 769 531 084 8;
  • 16) 0,240 769 531 084 8 × 2 = 0 + 0,481 539 062 169 6;
  • 17) 0,481 539 062 169 6 × 2 = 0 + 0,963 078 124 339 2;
  • 18) 0,963 078 124 339 2 × 2 = 1 + 0,926 156 248 678 4;
  • 19) 0,926 156 248 678 4 × 2 = 1 + 0,852 312 497 356 8;
  • 20) 0,852 312 497 356 8 × 2 = 1 + 0,704 624 994 713 6;
  • 21) 0,704 624 994 713 6 × 2 = 1 + 0,409 249 989 427 2;
  • 22) 0,409 249 989 427 2 × 2 = 0 + 0,818 499 978 854 4;
  • 23) 0,818 499 978 854 4 × 2 = 1 + 0,636 999 957 708 8;
  • 24) 0,636 999 957 708 8 × 2 = 1 + 0,273 999 915 417 6;
  • 25) 0,273 999 915 417 6 × 2 = 0 + 0,547 999 830 835 2;
  • 26) 0,547 999 830 835 2 × 2 = 1 + 0,095 999 661 670 4;
  • 27) 0,095 999 661 670 4 × 2 = 0 + 0,191 999 323 340 8;
  • 28) 0,191 999 323 340 8 × 2 = 0 + 0,383 998 646 681 6;
  • 29) 0,383 998 646 681 6 × 2 = 0 + 0,767 997 293 363 2;
  • 30) 0,767 997 293 363 2 × 2 = 1 + 0,535 994 586 726 4;
  • 31) 0,535 994 586 726 4 × 2 = 1 + 0,071 989 173 452 8;
  • 32) 0,071 989 173 452 8 × 2 = 0 + 0,143 978 346 905 6;
  • 33) 0,143 978 346 905 6 × 2 = 0 + 0,287 956 693 811 2;
  • 34) 0,287 956 693 811 2 × 2 = 0 + 0,575 913 387 622 4;
  • 35) 0,575 913 387 622 4 × 2 = 1 + 0,151 826 775 244 8;
  • 36) 0,151 826 775 244 8 × 2 = 0 + 0,303 653 550 489 6;
  • 37) 0,303 653 550 489 6 × 2 = 0 + 0,607 307 100 979 2;
  • 38) 0,607 307 100 979 2 × 2 = 1 + 0,214 614 201 958 4;
  • 39) 0,214 614 201 958 4 × 2 = 0 + 0,429 228 403 916 8;
  • 40) 0,429 228 403 916 8 × 2 = 0 + 0,858 456 807 833 6;
  • 41) 0,858 456 807 833 6 × 2 = 1 + 0,716 913 615 667 2;
  • 42) 0,716 913 615 667 2 × 2 = 1 + 0,433 827 231 334 4;
  • 43) 0,433 827 231 334 4 × 2 = 0 + 0,867 654 462 668 8;
  • 44) 0,867 654 462 668 8 × 2 = 1 + 0,735 308 925 337 6;
  • 45) 0,735 308 925 337 6 × 2 = 1 + 0,470 617 850 675 2;
  • 46) 0,470 617 850 675 2 × 2 = 0 + 0,941 235 701 350 4;
  • 47) 0,941 235 701 350 4 × 2 = 1 + 0,882 471 402 700 8;
  • 48) 0,882 471 402 700 8 × 2 = 1 + 0,764 942 805 401 6;
  • 49) 0,764 942 805 401 6 × 2 = 1 + 0,529 885 610 803 2;
  • 50) 0,529 885 610 803 2 × 2 = 1 + 0,059 771 221 606 4;
  • 51) 0,059 771 221 606 4 × 2 = 0 + 0,119 542 443 212 8;
  • 52) 0,119 542 443 212 8 × 2 = 0 + 0,239 084 886 425 6;
  • 53) 0,239 084 886 425 6 × 2 = 0 + 0,478 169 772 851 2;
  • 54) 0,478 169 772 851 2 × 2 = 0 + 0,956 339 545 702 4;
  • 55) 0,956 339 545 702 4 × 2 = 1 + 0,912 679 091 404 8;
  • 56) 0,912 679 091 404 8 × 2 = 1 + 0,825 358 182 809 6;
  • 57) 0,825 358 182 809 6 × 2 = 1 + 0,650 716 365 619 2;
  • 58) 0,650 716 365 619 2 × 2 = 1 + 0,301 432 731 238 4;
  • 59) 0,301 432 731 238 4 × 2 = 0 + 0,602 865 462 476 8;
  • 60) 0,602 865 462 476 8 × 2 = 1 + 0,205 730 924 953 6;
  • 61) 0,205 730 924 953 6 × 2 = 0 + 0,411 461 849 907 2;
  • 62) 0,411 461 849 907 2 × 2 = 0 + 0,822 923 699 814 4;
  • 63) 0,822 923 699 814 4 × 2 = 1 + 0,645 847 399 628 8;
  • 64) 0,645 847 399 628 8 × 2 = 1 + 0,291 694 799 257 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 906 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 906 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 906 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 906 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1101 1011 1100 0011 1101 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100