-0,000 282 005 913 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 2| = 0,000 282 005 913 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 4;
  • 2) 0,000 564 011 826 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 652 8;
  • 3) 0,001 128 023 652 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 305 6;
  • 4) 0,002 256 047 305 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 611 2;
  • 5) 0,004 512 094 611 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 222 4;
  • 6) 0,009 024 189 222 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 444 8;
  • 7) 0,018 048 378 444 8 × 2 = 0 + 0,036 096 756 889 6;
  • 8) 0,036 096 756 889 6 × 2 = 0 + 0,072 193 513 779 2;
  • 9) 0,072 193 513 779 2 × 2 = 0 + 0,144 387 027 558 4;
  • 10) 0,144 387 027 558 4 × 2 = 0 + 0,288 774 055 116 8;
  • 11) 0,288 774 055 116 8 × 2 = 0 + 0,577 548 110 233 6;
  • 12) 0,577 548 110 233 6 × 2 = 1 + 0,155 096 220 467 2;
  • 13) 0,155 096 220 467 2 × 2 = 0 + 0,310 192 440 934 4;
  • 14) 0,310 192 440 934 4 × 2 = 0 + 0,620 384 881 868 8;
  • 15) 0,620 384 881 868 8 × 2 = 1 + 0,240 769 763 737 6;
  • 16) 0,240 769 763 737 6 × 2 = 0 + 0,481 539 527 475 2;
  • 17) 0,481 539 527 475 2 × 2 = 0 + 0,963 079 054 950 4;
  • 18) 0,963 079 054 950 4 × 2 = 1 + 0,926 158 109 900 8;
  • 19) 0,926 158 109 900 8 × 2 = 1 + 0,852 316 219 801 6;
  • 20) 0,852 316 219 801 6 × 2 = 1 + 0,704 632 439 603 2;
  • 21) 0,704 632 439 603 2 × 2 = 1 + 0,409 264 879 206 4;
  • 22) 0,409 264 879 206 4 × 2 = 0 + 0,818 529 758 412 8;
  • 23) 0,818 529 758 412 8 × 2 = 1 + 0,637 059 516 825 6;
  • 24) 0,637 059 516 825 6 × 2 = 1 + 0,274 119 033 651 2;
  • 25) 0,274 119 033 651 2 × 2 = 0 + 0,548 238 067 302 4;
  • 26) 0,548 238 067 302 4 × 2 = 1 + 0,096 476 134 604 8;
  • 27) 0,096 476 134 604 8 × 2 = 0 + 0,192 952 269 209 6;
  • 28) 0,192 952 269 209 6 × 2 = 0 + 0,385 904 538 419 2;
  • 29) 0,385 904 538 419 2 × 2 = 0 + 0,771 809 076 838 4;
  • 30) 0,771 809 076 838 4 × 2 = 1 + 0,543 618 153 676 8;
  • 31) 0,543 618 153 676 8 × 2 = 1 + 0,087 236 307 353 6;
  • 32) 0,087 236 307 353 6 × 2 = 0 + 0,174 472 614 707 2;
  • 33) 0,174 472 614 707 2 × 2 = 0 + 0,348 945 229 414 4;
  • 34) 0,348 945 229 414 4 × 2 = 0 + 0,697 890 458 828 8;
  • 35) 0,697 890 458 828 8 × 2 = 1 + 0,395 780 917 657 6;
  • 36) 0,395 780 917 657 6 × 2 = 0 + 0,791 561 835 315 2;
  • 37) 0,791 561 835 315 2 × 2 = 1 + 0,583 123 670 630 4;
  • 38) 0,583 123 670 630 4 × 2 = 1 + 0,166 247 341 260 8;
  • 39) 0,166 247 341 260 8 × 2 = 0 + 0,332 494 682 521 6;
  • 40) 0,332 494 682 521 6 × 2 = 0 + 0,664 989 365 043 2;
  • 41) 0,664 989 365 043 2 × 2 = 1 + 0,329 978 730 086 4;
  • 42) 0,329 978 730 086 4 × 2 = 0 + 0,659 957 460 172 8;
  • 43) 0,659 957 460 172 8 × 2 = 1 + 0,319 914 920 345 6;
  • 44) 0,319 914 920 345 6 × 2 = 0 + 0,639 829 840 691 2;
  • 45) 0,639 829 840 691 2 × 2 = 1 + 0,279 659 681 382 4;
  • 46) 0,279 659 681 382 4 × 2 = 0 + 0,559 319 362 764 8;
  • 47) 0,559 319 362 764 8 × 2 = 1 + 0,118 638 725 529 6;
  • 48) 0,118 638 725 529 6 × 2 = 0 + 0,237 277 451 059 2;
  • 49) 0,237 277 451 059 2 × 2 = 0 + 0,474 554 902 118 4;
  • 50) 0,474 554 902 118 4 × 2 = 0 + 0,949 109 804 236 8;
  • 51) 0,949 109 804 236 8 × 2 = 1 + 0,898 219 608 473 6;
  • 52) 0,898 219 608 473 6 × 2 = 1 + 0,796 439 216 947 2;
  • 53) 0,796 439 216 947 2 × 2 = 1 + 0,592 878 433 894 4;
  • 54) 0,592 878 433 894 4 × 2 = 1 + 0,185 756 867 788 8;
  • 55) 0,185 756 867 788 8 × 2 = 0 + 0,371 513 735 577 6;
  • 56) 0,371 513 735 577 6 × 2 = 0 + 0,743 027 471 155 2;
  • 57) 0,743 027 471 155 2 × 2 = 1 + 0,486 054 942 310 4;
  • 58) 0,486 054 942 310 4 × 2 = 0 + 0,972 109 884 620 8;
  • 59) 0,972 109 884 620 8 × 2 = 1 + 0,944 219 769 241 6;
  • 60) 0,944 219 769 241 6 × 2 = 1 + 0,888 439 538 483 2;
  • 61) 0,888 439 538 483 2 × 2 = 1 + 0,776 879 076 966 4;
  • 62) 0,776 879 076 966 4 × 2 = 1 + 0,553 758 153 932 8;
  • 63) 0,553 758 153 932 8 × 2 = 1 + 0,107 516 307 865 6;
  • 64) 0,107 516 307 865 6 × 2 = 0 + 0,215 032 615 731 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1010 1010 0011 1100 1011 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 909 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100