-0,000 282 005 906 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 906 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 906 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 906 2| = 0,000 282 005 906 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 906 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 906 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 812 4;
  • 2) 0,000 564 011 812 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 624 8;
  • 3) 0,001 128 023 624 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 249 6;
  • 4) 0,002 256 047 249 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 499 2;
  • 5) 0,004 512 094 499 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 998 4;
  • 6) 0,009 024 188 998 4 × 2 = 0 + 0,018 048 377 996 8;
  • 7) 0,018 048 377 996 8 × 2 = 0 + 0,036 096 755 993 6;
  • 8) 0,036 096 755 993 6 × 2 = 0 + 0,072 193 511 987 2;
  • 9) 0,072 193 511 987 2 × 2 = 0 + 0,144 387 023 974 4;
  • 10) 0,144 387 023 974 4 × 2 = 0 + 0,288 774 047 948 8;
  • 11) 0,288 774 047 948 8 × 2 = 0 + 0,577 548 095 897 6;
  • 12) 0,577 548 095 897 6 × 2 = 1 + 0,155 096 191 795 2;
  • 13) 0,155 096 191 795 2 × 2 = 0 + 0,310 192 383 590 4;
  • 14) 0,310 192 383 590 4 × 2 = 0 + 0,620 384 767 180 8;
  • 15) 0,620 384 767 180 8 × 2 = 1 + 0,240 769 534 361 6;
  • 16) 0,240 769 534 361 6 × 2 = 0 + 0,481 539 068 723 2;
  • 17) 0,481 539 068 723 2 × 2 = 0 + 0,963 078 137 446 4;
  • 18) 0,963 078 137 446 4 × 2 = 1 + 0,926 156 274 892 8;
  • 19) 0,926 156 274 892 8 × 2 = 1 + 0,852 312 549 785 6;
  • 20) 0,852 312 549 785 6 × 2 = 1 + 0,704 625 099 571 2;
  • 21) 0,704 625 099 571 2 × 2 = 1 + 0,409 250 199 142 4;
  • 22) 0,409 250 199 142 4 × 2 = 0 + 0,818 500 398 284 8;
  • 23) 0,818 500 398 284 8 × 2 = 1 + 0,637 000 796 569 6;
  • 24) 0,637 000 796 569 6 × 2 = 1 + 0,274 001 593 139 2;
  • 25) 0,274 001 593 139 2 × 2 = 0 + 0,548 003 186 278 4;
  • 26) 0,548 003 186 278 4 × 2 = 1 + 0,096 006 372 556 8;
  • 27) 0,096 006 372 556 8 × 2 = 0 + 0,192 012 745 113 6;
  • 28) 0,192 012 745 113 6 × 2 = 0 + 0,384 025 490 227 2;
  • 29) 0,384 025 490 227 2 × 2 = 0 + 0,768 050 980 454 4;
  • 30) 0,768 050 980 454 4 × 2 = 1 + 0,536 101 960 908 8;
  • 31) 0,536 101 960 908 8 × 2 = 1 + 0,072 203 921 817 6;
  • 32) 0,072 203 921 817 6 × 2 = 0 + 0,144 407 843 635 2;
  • 33) 0,144 407 843 635 2 × 2 = 0 + 0,288 815 687 270 4;
  • 34) 0,288 815 687 270 4 × 2 = 0 + 0,577 631 374 540 8;
  • 35) 0,577 631 374 540 8 × 2 = 1 + 0,155 262 749 081 6;
  • 36) 0,155 262 749 081 6 × 2 = 0 + 0,310 525 498 163 2;
  • 37) 0,310 525 498 163 2 × 2 = 0 + 0,621 050 996 326 4;
  • 38) 0,621 050 996 326 4 × 2 = 1 + 0,242 101 992 652 8;
  • 39) 0,242 101 992 652 8 × 2 = 0 + 0,484 203 985 305 6;
  • 40) 0,484 203 985 305 6 × 2 = 0 + 0,968 407 970 611 2;
  • 41) 0,968 407 970 611 2 × 2 = 1 + 0,936 815 941 222 4;
  • 42) 0,936 815 941 222 4 × 2 = 1 + 0,873 631 882 444 8;
  • 43) 0,873 631 882 444 8 × 2 = 1 + 0,747 263 764 889 6;
  • 44) 0,747 263 764 889 6 × 2 = 1 + 0,494 527 529 779 2;
  • 45) 0,494 527 529 779 2 × 2 = 0 + 0,989 055 059 558 4;
  • 46) 0,989 055 059 558 4 × 2 = 1 + 0,978 110 119 116 8;
  • 47) 0,978 110 119 116 8 × 2 = 1 + 0,956 220 238 233 6;
  • 48) 0,956 220 238 233 6 × 2 = 1 + 0,912 440 476 467 2;
  • 49) 0,912 440 476 467 2 × 2 = 1 + 0,824 880 952 934 4;
  • 50) 0,824 880 952 934 4 × 2 = 1 + 0,649 761 905 868 8;
  • 51) 0,649 761 905 868 8 × 2 = 1 + 0,299 523 811 737 6;
  • 52) 0,299 523 811 737 6 × 2 = 0 + 0,599 047 623 475 2;
  • 53) 0,599 047 623 475 2 × 2 = 1 + 0,198 095 246 950 4;
  • 54) 0,198 095 246 950 4 × 2 = 0 + 0,396 190 493 900 8;
  • 55) 0,396 190 493 900 8 × 2 = 0 + 0,792 380 987 801 6;
  • 56) 0,792 380 987 801 6 × 2 = 1 + 0,584 761 975 603 2;
  • 57) 0,584 761 975 603 2 × 2 = 1 + 0,169 523 951 206 4;
  • 58) 0,169 523 951 206 4 × 2 = 0 + 0,339 047 902 412 8;
  • 59) 0,339 047 902 412 8 × 2 = 0 + 0,678 095 804 825 6;
  • 60) 0,678 095 804 825 6 × 2 = 1 + 0,356 191 609 651 2;
  • 61) 0,356 191 609 651 2 × 2 = 0 + 0,712 383 219 302 4;
  • 62) 0,712 383 219 302 4 × 2 = 1 + 0,424 766 438 604 8;
  • 63) 0,424 766 438 604 8 × 2 = 0 + 0,849 532 877 209 6;
  • 64) 0,849 532 877 209 6 × 2 = 1 + 0,699 065 754 419 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 906 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 906 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 906 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 906 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 1111 0111 1110 1001 1001 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 905 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100