-0,000 282 005 907 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 907 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 907 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 907 3| = 0,000 282 005 907 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 907 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 907 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 814 6;
  • 2) 0,000 564 011 814 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 629 2;
  • 3) 0,001 128 023 629 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 258 4;
  • 4) 0,002 256 047 258 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 516 8;
  • 5) 0,004 512 094 516 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 033 6;
  • 6) 0,009 024 189 033 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 067 2;
  • 7) 0,018 048 378 067 2 × 2 = 0 + 0,036 096 756 134 4;
  • 8) 0,036 096 756 134 4 × 2 = 0 + 0,072 193 512 268 8;
  • 9) 0,072 193 512 268 8 × 2 = 0 + 0,144 387 024 537 6;
  • 10) 0,144 387 024 537 6 × 2 = 0 + 0,288 774 049 075 2;
  • 11) 0,288 774 049 075 2 × 2 = 0 + 0,577 548 098 150 4;
  • 12) 0,577 548 098 150 4 × 2 = 1 + 0,155 096 196 300 8;
  • 13) 0,155 096 196 300 8 × 2 = 0 + 0,310 192 392 601 6;
  • 14) 0,310 192 392 601 6 × 2 = 0 + 0,620 384 785 203 2;
  • 15) 0,620 384 785 203 2 × 2 = 1 + 0,240 769 570 406 4;
  • 16) 0,240 769 570 406 4 × 2 = 0 + 0,481 539 140 812 8;
  • 17) 0,481 539 140 812 8 × 2 = 0 + 0,963 078 281 625 6;
  • 18) 0,963 078 281 625 6 × 2 = 1 + 0,926 156 563 251 2;
  • 19) 0,926 156 563 251 2 × 2 = 1 + 0,852 313 126 502 4;
  • 20) 0,852 313 126 502 4 × 2 = 1 + 0,704 626 253 004 8;
  • 21) 0,704 626 253 004 8 × 2 = 1 + 0,409 252 506 009 6;
  • 22) 0,409 252 506 009 6 × 2 = 0 + 0,818 505 012 019 2;
  • 23) 0,818 505 012 019 2 × 2 = 1 + 0,637 010 024 038 4;
  • 24) 0,637 010 024 038 4 × 2 = 1 + 0,274 020 048 076 8;
  • 25) 0,274 020 048 076 8 × 2 = 0 + 0,548 040 096 153 6;
  • 26) 0,548 040 096 153 6 × 2 = 1 + 0,096 080 192 307 2;
  • 27) 0,096 080 192 307 2 × 2 = 0 + 0,192 160 384 614 4;
  • 28) 0,192 160 384 614 4 × 2 = 0 + 0,384 320 769 228 8;
  • 29) 0,384 320 769 228 8 × 2 = 0 + 0,768 641 538 457 6;
  • 30) 0,768 641 538 457 6 × 2 = 1 + 0,537 283 076 915 2;
  • 31) 0,537 283 076 915 2 × 2 = 1 + 0,074 566 153 830 4;
  • 32) 0,074 566 153 830 4 × 2 = 0 + 0,149 132 307 660 8;
  • 33) 0,149 132 307 660 8 × 2 = 0 + 0,298 264 615 321 6;
  • 34) 0,298 264 615 321 6 × 2 = 0 + 0,596 529 230 643 2;
  • 35) 0,596 529 230 643 2 × 2 = 1 + 0,193 058 461 286 4;
  • 36) 0,193 058 461 286 4 × 2 = 0 + 0,386 116 922 572 8;
  • 37) 0,386 116 922 572 8 × 2 = 0 + 0,772 233 845 145 6;
  • 38) 0,772 233 845 145 6 × 2 = 1 + 0,544 467 690 291 2;
  • 39) 0,544 467 690 291 2 × 2 = 1 + 0,088 935 380 582 4;
  • 40) 0,088 935 380 582 4 × 2 = 0 + 0,177 870 761 164 8;
  • 41) 0,177 870 761 164 8 × 2 = 0 + 0,355 741 522 329 6;
  • 42) 0,355 741 522 329 6 × 2 = 0 + 0,711 483 044 659 2;
  • 43) 0,711 483 044 659 2 × 2 = 1 + 0,422 966 089 318 4;
  • 44) 0,422 966 089 318 4 × 2 = 0 + 0,845 932 178 636 8;
  • 45) 0,845 932 178 636 8 × 2 = 1 + 0,691 864 357 273 6;
  • 46) 0,691 864 357 273 6 × 2 = 1 + 0,383 728 714 547 2;
  • 47) 0,383 728 714 547 2 × 2 = 0 + 0,767 457 429 094 4;
  • 48) 0,767 457 429 094 4 × 2 = 1 + 0,534 914 858 188 8;
  • 49) 0,534 914 858 188 8 × 2 = 1 + 0,069 829 716 377 6;
  • 50) 0,069 829 716 377 6 × 2 = 0 + 0,139 659 432 755 2;
  • 51) 0,139 659 432 755 2 × 2 = 0 + 0,279 318 865 510 4;
  • 52) 0,279 318 865 510 4 × 2 = 0 + 0,558 637 731 020 8;
  • 53) 0,558 637 731 020 8 × 2 = 1 + 0,117 275 462 041 6;
  • 54) 0,117 275 462 041 6 × 2 = 0 + 0,234 550 924 083 2;
  • 55) 0,234 550 924 083 2 × 2 = 0 + 0,469 101 848 166 4;
  • 56) 0,469 101 848 166 4 × 2 = 0 + 0,938 203 696 332 8;
  • 57) 0,938 203 696 332 8 × 2 = 1 + 0,876 407 392 665 6;
  • 58) 0,876 407 392 665 6 × 2 = 1 + 0,752 814 785 331 2;
  • 59) 0,752 814 785 331 2 × 2 = 1 + 0,505 629 570 662 4;
  • 60) 0,505 629 570 662 4 × 2 = 1 + 0,011 259 141 324 8;
  • 61) 0,011 259 141 324 8 × 2 = 0 + 0,022 518 282 649 6;
  • 62) 0,022 518 282 649 6 × 2 = 0 + 0,045 036 565 299 2;
  • 63) 0,045 036 565 299 2 × 2 = 0 + 0,090 073 130 598 4;
  • 64) 0,090 073 130 598 4 × 2 = 0 + 0,180 146 261 196 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 907 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 907 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 907 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 907 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0010 1101 1000 1000 1111 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 899 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100