-0,000 282 005 907 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 907 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 907 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 907 8| = 0,000 282 005 907 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 907 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 907 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 815 6;
  • 2) 0,000 564 011 815 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 631 2;
  • 3) 0,001 128 023 631 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 262 4;
  • 4) 0,002 256 047 262 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 524 8;
  • 5) 0,004 512 094 524 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 049 6;
  • 6) 0,009 024 189 049 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 099 2;
  • 7) 0,018 048 378 099 2 × 2 = 0 + 0,036 096 756 198 4;
  • 8) 0,036 096 756 198 4 × 2 = 0 + 0,072 193 512 396 8;
  • 9) 0,072 193 512 396 8 × 2 = 0 + 0,144 387 024 793 6;
  • 10) 0,144 387 024 793 6 × 2 = 0 + 0,288 774 049 587 2;
  • 11) 0,288 774 049 587 2 × 2 = 0 + 0,577 548 099 174 4;
  • 12) 0,577 548 099 174 4 × 2 = 1 + 0,155 096 198 348 8;
  • 13) 0,155 096 198 348 8 × 2 = 0 + 0,310 192 396 697 6;
  • 14) 0,310 192 396 697 6 × 2 = 0 + 0,620 384 793 395 2;
  • 15) 0,620 384 793 395 2 × 2 = 1 + 0,240 769 586 790 4;
  • 16) 0,240 769 586 790 4 × 2 = 0 + 0,481 539 173 580 8;
  • 17) 0,481 539 173 580 8 × 2 = 0 + 0,963 078 347 161 6;
  • 18) 0,963 078 347 161 6 × 2 = 1 + 0,926 156 694 323 2;
  • 19) 0,926 156 694 323 2 × 2 = 1 + 0,852 313 388 646 4;
  • 20) 0,852 313 388 646 4 × 2 = 1 + 0,704 626 777 292 8;
  • 21) 0,704 626 777 292 8 × 2 = 1 + 0,409 253 554 585 6;
  • 22) 0,409 253 554 585 6 × 2 = 0 + 0,818 507 109 171 2;
  • 23) 0,818 507 109 171 2 × 2 = 1 + 0,637 014 218 342 4;
  • 24) 0,637 014 218 342 4 × 2 = 1 + 0,274 028 436 684 8;
  • 25) 0,274 028 436 684 8 × 2 = 0 + 0,548 056 873 369 6;
  • 26) 0,548 056 873 369 6 × 2 = 1 + 0,096 113 746 739 2;
  • 27) 0,096 113 746 739 2 × 2 = 0 + 0,192 227 493 478 4;
  • 28) 0,192 227 493 478 4 × 2 = 0 + 0,384 454 986 956 8;
  • 29) 0,384 454 986 956 8 × 2 = 0 + 0,768 909 973 913 6;
  • 30) 0,768 909 973 913 6 × 2 = 1 + 0,537 819 947 827 2;
  • 31) 0,537 819 947 827 2 × 2 = 1 + 0,075 639 895 654 4;
  • 32) 0,075 639 895 654 4 × 2 = 0 + 0,151 279 791 308 8;
  • 33) 0,151 279 791 308 8 × 2 = 0 + 0,302 559 582 617 6;
  • 34) 0,302 559 582 617 6 × 2 = 0 + 0,605 119 165 235 2;
  • 35) 0,605 119 165 235 2 × 2 = 1 + 0,210 238 330 470 4;
  • 36) 0,210 238 330 470 4 × 2 = 0 + 0,420 476 660 940 8;
  • 37) 0,420 476 660 940 8 × 2 = 0 + 0,840 953 321 881 6;
  • 38) 0,840 953 321 881 6 × 2 = 1 + 0,681 906 643 763 2;
  • 39) 0,681 906 643 763 2 × 2 = 1 + 0,363 813 287 526 4;
  • 40) 0,363 813 287 526 4 × 2 = 0 + 0,727 626 575 052 8;
  • 41) 0,727 626 575 052 8 × 2 = 1 + 0,455 253 150 105 6;
  • 42) 0,455 253 150 105 6 × 2 = 0 + 0,910 506 300 211 2;
  • 43) 0,910 506 300 211 2 × 2 = 1 + 0,821 012 600 422 4;
  • 44) 0,821 012 600 422 4 × 2 = 1 + 0,642 025 200 844 8;
  • 45) 0,642 025 200 844 8 × 2 = 1 + 0,284 050 401 689 6;
  • 46) 0,284 050 401 689 6 × 2 = 0 + 0,568 100 803 379 2;
  • 47) 0,568 100 803 379 2 × 2 = 1 + 0,136 201 606 758 4;
  • 48) 0,136 201 606 758 4 × 2 = 0 + 0,272 403 213 516 8;
  • 49) 0,272 403 213 516 8 × 2 = 0 + 0,544 806 427 033 6;
  • 50) 0,544 806 427 033 6 × 2 = 1 + 0,089 612 854 067 2;
  • 51) 0,089 612 854 067 2 × 2 = 0 + 0,179 225 708 134 4;
  • 52) 0,179 225 708 134 4 × 2 = 0 + 0,358 451 416 268 8;
  • 53) 0,358 451 416 268 8 × 2 = 0 + 0,716 902 832 537 6;
  • 54) 0,716 902 832 537 6 × 2 = 1 + 0,433 805 665 075 2;
  • 55) 0,433 805 665 075 2 × 2 = 0 + 0,867 611 330 150 4;
  • 56) 0,867 611 330 150 4 × 2 = 1 + 0,735 222 660 300 8;
  • 57) 0,735 222 660 300 8 × 2 = 1 + 0,470 445 320 601 6;
  • 58) 0,470 445 320 601 6 × 2 = 0 + 0,940 890 641 203 2;
  • 59) 0,940 890 641 203 2 × 2 = 1 + 0,881 781 282 406 4;
  • 60) 0,881 781 282 406 4 × 2 = 1 + 0,763 562 564 812 8;
  • 61) 0,763 562 564 812 8 × 2 = 1 + 0,527 125 129 625 6;
  • 62) 0,527 125 129 625 6 × 2 = 1 + 0,054 250 259 251 2;
  • 63) 0,054 250 259 251 2 × 2 = 0 + 0,108 500 518 502 4;
  • 64) 0,108 500 518 502 4 × 2 = 0 + 0,217 001 037 004 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 907 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 907 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 907 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 907 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 1011 1010 0100 0101 1011 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 907 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100