-0,000 282 005 908 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 908 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 908 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 908 3| = 0,000 282 005 908 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 908 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 908 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 816 6;
  • 2) 0,000 564 011 816 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 633 2;
  • 3) 0,001 128 023 633 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 266 4;
  • 4) 0,002 256 047 266 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 532 8;
  • 5) 0,004 512 094 532 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 065 6;
  • 6) 0,009 024 189 065 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 131 2;
  • 7) 0,018 048 378 131 2 × 2 = 0 + 0,036 096 756 262 4;
  • 8) 0,036 096 756 262 4 × 2 = 0 + 0,072 193 512 524 8;
  • 9) 0,072 193 512 524 8 × 2 = 0 + 0,144 387 025 049 6;
  • 10) 0,144 387 025 049 6 × 2 = 0 + 0,288 774 050 099 2;
  • 11) 0,288 774 050 099 2 × 2 = 0 + 0,577 548 100 198 4;
  • 12) 0,577 548 100 198 4 × 2 = 1 + 0,155 096 200 396 8;
  • 13) 0,155 096 200 396 8 × 2 = 0 + 0,310 192 400 793 6;
  • 14) 0,310 192 400 793 6 × 2 = 0 + 0,620 384 801 587 2;
  • 15) 0,620 384 801 587 2 × 2 = 1 + 0,240 769 603 174 4;
  • 16) 0,240 769 603 174 4 × 2 = 0 + 0,481 539 206 348 8;
  • 17) 0,481 539 206 348 8 × 2 = 0 + 0,963 078 412 697 6;
  • 18) 0,963 078 412 697 6 × 2 = 1 + 0,926 156 825 395 2;
  • 19) 0,926 156 825 395 2 × 2 = 1 + 0,852 313 650 790 4;
  • 20) 0,852 313 650 790 4 × 2 = 1 + 0,704 627 301 580 8;
  • 21) 0,704 627 301 580 8 × 2 = 1 + 0,409 254 603 161 6;
  • 22) 0,409 254 603 161 6 × 2 = 0 + 0,818 509 206 323 2;
  • 23) 0,818 509 206 323 2 × 2 = 1 + 0,637 018 412 646 4;
  • 24) 0,637 018 412 646 4 × 2 = 1 + 0,274 036 825 292 8;
  • 25) 0,274 036 825 292 8 × 2 = 0 + 0,548 073 650 585 6;
  • 26) 0,548 073 650 585 6 × 2 = 1 + 0,096 147 301 171 2;
  • 27) 0,096 147 301 171 2 × 2 = 0 + 0,192 294 602 342 4;
  • 28) 0,192 294 602 342 4 × 2 = 0 + 0,384 589 204 684 8;
  • 29) 0,384 589 204 684 8 × 2 = 0 + 0,769 178 409 369 6;
  • 30) 0,769 178 409 369 6 × 2 = 1 + 0,538 356 818 739 2;
  • 31) 0,538 356 818 739 2 × 2 = 1 + 0,076 713 637 478 4;
  • 32) 0,076 713 637 478 4 × 2 = 0 + 0,153 427 274 956 8;
  • 33) 0,153 427 274 956 8 × 2 = 0 + 0,306 854 549 913 6;
  • 34) 0,306 854 549 913 6 × 2 = 0 + 0,613 709 099 827 2;
  • 35) 0,613 709 099 827 2 × 2 = 1 + 0,227 418 199 654 4;
  • 36) 0,227 418 199 654 4 × 2 = 0 + 0,454 836 399 308 8;
  • 37) 0,454 836 399 308 8 × 2 = 0 + 0,909 672 798 617 6;
  • 38) 0,909 672 798 617 6 × 2 = 1 + 0,819 345 597 235 2;
  • 39) 0,819 345 597 235 2 × 2 = 1 + 0,638 691 194 470 4;
  • 40) 0,638 691 194 470 4 × 2 = 1 + 0,277 382 388 940 8;
  • 41) 0,277 382 388 940 8 × 2 = 0 + 0,554 764 777 881 6;
  • 42) 0,554 764 777 881 6 × 2 = 1 + 0,109 529 555 763 2;
  • 43) 0,109 529 555 763 2 × 2 = 0 + 0,219 059 111 526 4;
  • 44) 0,219 059 111 526 4 × 2 = 0 + 0,438 118 223 052 8;
  • 45) 0,438 118 223 052 8 × 2 = 0 + 0,876 236 446 105 6;
  • 46) 0,876 236 446 105 6 × 2 = 1 + 0,752 472 892 211 2;
  • 47) 0,752 472 892 211 2 × 2 = 1 + 0,504 945 784 422 4;
  • 48) 0,504 945 784 422 4 × 2 = 1 + 0,009 891 568 844 8;
  • 49) 0,009 891 568 844 8 × 2 = 0 + 0,019 783 137 689 6;
  • 50) 0,019 783 137 689 6 × 2 = 0 + 0,039 566 275 379 2;
  • 51) 0,039 566 275 379 2 × 2 = 0 + 0,079 132 550 758 4;
  • 52) 0,079 132 550 758 4 × 2 = 0 + 0,158 265 101 516 8;
  • 53) 0,158 265 101 516 8 × 2 = 0 + 0,316 530 203 033 6;
  • 54) 0,316 530 203 033 6 × 2 = 0 + 0,633 060 406 067 2;
  • 55) 0,633 060 406 067 2 × 2 = 1 + 0,266 120 812 134 4;
  • 56) 0,266 120 812 134 4 × 2 = 0 + 0,532 241 624 268 8;
  • 57) 0,532 241 624 268 8 × 2 = 1 + 0,064 483 248 537 6;
  • 58) 0,064 483 248 537 6 × 2 = 0 + 0,128 966 497 075 2;
  • 59) 0,128 966 497 075 2 × 2 = 0 + 0,257 932 994 150 4;
  • 60) 0,257 932 994 150 4 × 2 = 0 + 0,515 865 988 300 8;
  • 61) 0,515 865 988 300 8 × 2 = 1 + 0,031 731 976 601 6;
  • 62) 0,031 731 976 601 6 × 2 = 0 + 0,063 463 953 203 2;
  • 63) 0,063 463 953 203 2 × 2 = 0 + 0,126 927 906 406 4;
  • 64) 0,126 927 906 406 4 × 2 = 0 + 0,253 855 812 812 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 908 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 908 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 908 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 908 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0100 0111 0000 0010 1000 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100