-0,000 282 005 915 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 9| = 0,000 282 005 915 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 831 8;
  • 2) 0,000 564 011 831 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 663 6;
  • 3) 0,001 128 023 663 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 327 2;
  • 4) 0,002 256 047 327 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 654 4;
  • 5) 0,004 512 094 654 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 308 8;
  • 6) 0,009 024 189 308 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 617 6;
  • 7) 0,018 048 378 617 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 235 2;
  • 8) 0,036 096 757 235 2 × 2 = 0 + 0,072 193 514 470 4;
  • 9) 0,072 193 514 470 4 × 2 = 0 + 0,144 387 028 940 8;
  • 10) 0,144 387 028 940 8 × 2 = 0 + 0,288 774 057 881 6;
  • 11) 0,288 774 057 881 6 × 2 = 0 + 0,577 548 115 763 2;
  • 12) 0,577 548 115 763 2 × 2 = 1 + 0,155 096 231 526 4;
  • 13) 0,155 096 231 526 4 × 2 = 0 + 0,310 192 463 052 8;
  • 14) 0,310 192 463 052 8 × 2 = 0 + 0,620 384 926 105 6;
  • 15) 0,620 384 926 105 6 × 2 = 1 + 0,240 769 852 211 2;
  • 16) 0,240 769 852 211 2 × 2 = 0 + 0,481 539 704 422 4;
  • 17) 0,481 539 704 422 4 × 2 = 0 + 0,963 079 408 844 8;
  • 18) 0,963 079 408 844 8 × 2 = 1 + 0,926 158 817 689 6;
  • 19) 0,926 158 817 689 6 × 2 = 1 + 0,852 317 635 379 2;
  • 20) 0,852 317 635 379 2 × 2 = 1 + 0,704 635 270 758 4;
  • 21) 0,704 635 270 758 4 × 2 = 1 + 0,409 270 541 516 8;
  • 22) 0,409 270 541 516 8 × 2 = 0 + 0,818 541 083 033 6;
  • 23) 0,818 541 083 033 6 × 2 = 1 + 0,637 082 166 067 2;
  • 24) 0,637 082 166 067 2 × 2 = 1 + 0,274 164 332 134 4;
  • 25) 0,274 164 332 134 4 × 2 = 0 + 0,548 328 664 268 8;
  • 26) 0,548 328 664 268 8 × 2 = 1 + 0,096 657 328 537 6;
  • 27) 0,096 657 328 537 6 × 2 = 0 + 0,193 314 657 075 2;
  • 28) 0,193 314 657 075 2 × 2 = 0 + 0,386 629 314 150 4;
  • 29) 0,386 629 314 150 4 × 2 = 0 + 0,773 258 628 300 8;
  • 30) 0,773 258 628 300 8 × 2 = 1 + 0,546 517 256 601 6;
  • 31) 0,546 517 256 601 6 × 2 = 1 + 0,093 034 513 203 2;
  • 32) 0,093 034 513 203 2 × 2 = 0 + 0,186 069 026 406 4;
  • 33) 0,186 069 026 406 4 × 2 = 0 + 0,372 138 052 812 8;
  • 34) 0,372 138 052 812 8 × 2 = 0 + 0,744 276 105 625 6;
  • 35) 0,744 276 105 625 6 × 2 = 1 + 0,488 552 211 251 2;
  • 36) 0,488 552 211 251 2 × 2 = 0 + 0,977 104 422 502 4;
  • 37) 0,977 104 422 502 4 × 2 = 1 + 0,954 208 845 004 8;
  • 38) 0,954 208 845 004 8 × 2 = 1 + 0,908 417 690 009 6;
  • 39) 0,908 417 690 009 6 × 2 = 1 + 0,816 835 380 019 2;
  • 40) 0,816 835 380 019 2 × 2 = 1 + 0,633 670 760 038 4;
  • 41) 0,633 670 760 038 4 × 2 = 1 + 0,267 341 520 076 8;
  • 42) 0,267 341 520 076 8 × 2 = 0 + 0,534 683 040 153 6;
  • 43) 0,534 683 040 153 6 × 2 = 1 + 0,069 366 080 307 2;
  • 44) 0,069 366 080 307 2 × 2 = 0 + 0,138 732 160 614 4;
  • 45) 0,138 732 160 614 4 × 2 = 0 + 0,277 464 321 228 8;
  • 46) 0,277 464 321 228 8 × 2 = 0 + 0,554 928 642 457 6;
  • 47) 0,554 928 642 457 6 × 2 = 1 + 0,109 857 284 915 2;
  • 48) 0,109 857 284 915 2 × 2 = 0 + 0,219 714 569 830 4;
  • 49) 0,219 714 569 830 4 × 2 = 0 + 0,439 429 139 660 8;
  • 50) 0,439 429 139 660 8 × 2 = 0 + 0,878 858 279 321 6;
  • 51) 0,878 858 279 321 6 × 2 = 1 + 0,757 716 558 643 2;
  • 52) 0,757 716 558 643 2 × 2 = 1 + 0,515 433 117 286 4;
  • 53) 0,515 433 117 286 4 × 2 = 1 + 0,030 866 234 572 8;
  • 54) 0,030 866 234 572 8 × 2 = 0 + 0,061 732 469 145 6;
  • 55) 0,061 732 469 145 6 × 2 = 0 + 0,123 464 938 291 2;
  • 56) 0,123 464 938 291 2 × 2 = 0 + 0,246 929 876 582 4;
  • 57) 0,246 929 876 582 4 × 2 = 0 + 0,493 859 753 164 8;
  • 58) 0,493 859 753 164 8 × 2 = 0 + 0,987 719 506 329 6;
  • 59) 0,987 719 506 329 6 × 2 = 1 + 0,975 439 012 659 2;
  • 60) 0,975 439 012 659 2 × 2 = 1 + 0,950 878 025 318 4;
  • 61) 0,950 878 025 318 4 × 2 = 1 + 0,901 756 050 636 8;
  • 62) 0,901 756 050 636 8 × 2 = 1 + 0,803 512 101 273 6;
  • 63) 0,803 512 101 273 6 × 2 = 1 + 0,607 024 202 547 2;
  • 64) 0,607 024 202 547 2 × 2 = 1 + 0,214 048 405 094 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1111 1010 0010 0011 1000 0011 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100