-0,000 282 005 909 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 909 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 909 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 909 3| = 0,000 282 005 909 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 909 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 909 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 818 6;
  • 2) 0,000 564 011 818 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 637 2;
  • 3) 0,001 128 023 637 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 274 4;
  • 4) 0,002 256 047 274 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 548 8;
  • 5) 0,004 512 094 548 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 097 6;
  • 6) 0,009 024 189 097 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 195 2;
  • 7) 0,018 048 378 195 2 × 2 = 0 + 0,036 096 756 390 4;
  • 8) 0,036 096 756 390 4 × 2 = 0 + 0,072 193 512 780 8;
  • 9) 0,072 193 512 780 8 × 2 = 0 + 0,144 387 025 561 6;
  • 10) 0,144 387 025 561 6 × 2 = 0 + 0,288 774 051 123 2;
  • 11) 0,288 774 051 123 2 × 2 = 0 + 0,577 548 102 246 4;
  • 12) 0,577 548 102 246 4 × 2 = 1 + 0,155 096 204 492 8;
  • 13) 0,155 096 204 492 8 × 2 = 0 + 0,310 192 408 985 6;
  • 14) 0,310 192 408 985 6 × 2 = 0 + 0,620 384 817 971 2;
  • 15) 0,620 384 817 971 2 × 2 = 1 + 0,240 769 635 942 4;
  • 16) 0,240 769 635 942 4 × 2 = 0 + 0,481 539 271 884 8;
  • 17) 0,481 539 271 884 8 × 2 = 0 + 0,963 078 543 769 6;
  • 18) 0,963 078 543 769 6 × 2 = 1 + 0,926 157 087 539 2;
  • 19) 0,926 157 087 539 2 × 2 = 1 + 0,852 314 175 078 4;
  • 20) 0,852 314 175 078 4 × 2 = 1 + 0,704 628 350 156 8;
  • 21) 0,704 628 350 156 8 × 2 = 1 + 0,409 256 700 313 6;
  • 22) 0,409 256 700 313 6 × 2 = 0 + 0,818 513 400 627 2;
  • 23) 0,818 513 400 627 2 × 2 = 1 + 0,637 026 801 254 4;
  • 24) 0,637 026 801 254 4 × 2 = 1 + 0,274 053 602 508 8;
  • 25) 0,274 053 602 508 8 × 2 = 0 + 0,548 107 205 017 6;
  • 26) 0,548 107 205 017 6 × 2 = 1 + 0,096 214 410 035 2;
  • 27) 0,096 214 410 035 2 × 2 = 0 + 0,192 428 820 070 4;
  • 28) 0,192 428 820 070 4 × 2 = 0 + 0,384 857 640 140 8;
  • 29) 0,384 857 640 140 8 × 2 = 0 + 0,769 715 280 281 6;
  • 30) 0,769 715 280 281 6 × 2 = 1 + 0,539 430 560 563 2;
  • 31) 0,539 430 560 563 2 × 2 = 1 + 0,078 861 121 126 4;
  • 32) 0,078 861 121 126 4 × 2 = 0 + 0,157 722 242 252 8;
  • 33) 0,157 722 242 252 8 × 2 = 0 + 0,315 444 484 505 6;
  • 34) 0,315 444 484 505 6 × 2 = 0 + 0,630 888 969 011 2;
  • 35) 0,630 888 969 011 2 × 2 = 1 + 0,261 777 938 022 4;
  • 36) 0,261 777 938 022 4 × 2 = 0 + 0,523 555 876 044 8;
  • 37) 0,523 555 876 044 8 × 2 = 1 + 0,047 111 752 089 6;
  • 38) 0,047 111 752 089 6 × 2 = 0 + 0,094 223 504 179 2;
  • 39) 0,094 223 504 179 2 × 2 = 0 + 0,188 447 008 358 4;
  • 40) 0,188 447 008 358 4 × 2 = 0 + 0,376 894 016 716 8;
  • 41) 0,376 894 016 716 8 × 2 = 0 + 0,753 788 033 433 6;
  • 42) 0,753 788 033 433 6 × 2 = 1 + 0,507 576 066 867 2;
  • 43) 0,507 576 066 867 2 × 2 = 1 + 0,015 152 133 734 4;
  • 44) 0,015 152 133 734 4 × 2 = 0 + 0,030 304 267 468 8;
  • 45) 0,030 304 267 468 8 × 2 = 0 + 0,060 608 534 937 6;
  • 46) 0,060 608 534 937 6 × 2 = 0 + 0,121 217 069 875 2;
  • 47) 0,121 217 069 875 2 × 2 = 0 + 0,242 434 139 750 4;
  • 48) 0,242 434 139 750 4 × 2 = 0 + 0,484 868 279 500 8;
  • 49) 0,484 868 279 500 8 × 2 = 0 + 0,969 736 559 001 6;
  • 50) 0,969 736 559 001 6 × 2 = 1 + 0,939 473 118 003 2;
  • 51) 0,939 473 118 003 2 × 2 = 1 + 0,878 946 236 006 4;
  • 52) 0,878 946 236 006 4 × 2 = 1 + 0,757 892 472 012 8;
  • 53) 0,757 892 472 012 8 × 2 = 1 + 0,515 784 944 025 6;
  • 54) 0,515 784 944 025 6 × 2 = 1 + 0,031 569 888 051 2;
  • 55) 0,031 569 888 051 2 × 2 = 0 + 0,063 139 776 102 4;
  • 56) 0,063 139 776 102 4 × 2 = 0 + 0,126 279 552 204 8;
  • 57) 0,126 279 552 204 8 × 2 = 0 + 0,252 559 104 409 6;
  • 58) 0,252 559 104 409 6 × 2 = 0 + 0,505 118 208 819 2;
  • 59) 0,505 118 208 819 2 × 2 = 1 + 0,010 236 417 638 4;
  • 60) 0,010 236 417 638 4 × 2 = 0 + 0,020 472 835 276 8;
  • 61) 0,020 472 835 276 8 × 2 = 0 + 0,040 945 670 553 6;
  • 62) 0,040 945 670 553 6 × 2 = 0 + 0,081 891 341 107 2;
  • 63) 0,081 891 341 107 2 × 2 = 0 + 0,163 782 682 214 4;
  • 64) 0,163 782 682 214 4 × 2 = 0 + 0,327 565 364 428 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 909 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 909 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 909 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 909 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 0110 0000 0111 1100 0010 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100