-0,000 282 005 913 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 6| = 0,000 282 005 913 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 2;
  • 2) 0,000 564 011 827 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 4;
  • 3) 0,001 128 023 654 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 308 8;
  • 4) 0,002 256 047 308 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 617 6;
  • 5) 0,004 512 094 617 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 235 2;
  • 6) 0,009 024 189 235 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 470 4;
  • 7) 0,018 048 378 470 4 × 2 = 0 + 0,036 096 756 940 8;
  • 8) 0,036 096 756 940 8 × 2 = 0 + 0,072 193 513 881 6;
  • 9) 0,072 193 513 881 6 × 2 = 0 + 0,144 387 027 763 2;
  • 10) 0,144 387 027 763 2 × 2 = 0 + 0,288 774 055 526 4;
  • 11) 0,288 774 055 526 4 × 2 = 0 + 0,577 548 111 052 8;
  • 12) 0,577 548 111 052 8 × 2 = 1 + 0,155 096 222 105 6;
  • 13) 0,155 096 222 105 6 × 2 = 0 + 0,310 192 444 211 2;
  • 14) 0,310 192 444 211 2 × 2 = 0 + 0,620 384 888 422 4;
  • 15) 0,620 384 888 422 4 × 2 = 1 + 0,240 769 776 844 8;
  • 16) 0,240 769 776 844 8 × 2 = 0 + 0,481 539 553 689 6;
  • 17) 0,481 539 553 689 6 × 2 = 0 + 0,963 079 107 379 2;
  • 18) 0,963 079 107 379 2 × 2 = 1 + 0,926 158 214 758 4;
  • 19) 0,926 158 214 758 4 × 2 = 1 + 0,852 316 429 516 8;
  • 20) 0,852 316 429 516 8 × 2 = 1 + 0,704 632 859 033 6;
  • 21) 0,704 632 859 033 6 × 2 = 1 + 0,409 265 718 067 2;
  • 22) 0,409 265 718 067 2 × 2 = 0 + 0,818 531 436 134 4;
  • 23) 0,818 531 436 134 4 × 2 = 1 + 0,637 062 872 268 8;
  • 24) 0,637 062 872 268 8 × 2 = 1 + 0,274 125 744 537 6;
  • 25) 0,274 125 744 537 6 × 2 = 0 + 0,548 251 489 075 2;
  • 26) 0,548 251 489 075 2 × 2 = 1 + 0,096 502 978 150 4;
  • 27) 0,096 502 978 150 4 × 2 = 0 + 0,193 005 956 300 8;
  • 28) 0,193 005 956 300 8 × 2 = 0 + 0,386 011 912 601 6;
  • 29) 0,386 011 912 601 6 × 2 = 0 + 0,772 023 825 203 2;
  • 30) 0,772 023 825 203 2 × 2 = 1 + 0,544 047 650 406 4;
  • 31) 0,544 047 650 406 4 × 2 = 1 + 0,088 095 300 812 8;
  • 32) 0,088 095 300 812 8 × 2 = 0 + 0,176 190 601 625 6;
  • 33) 0,176 190 601 625 6 × 2 = 0 + 0,352 381 203 251 2;
  • 34) 0,352 381 203 251 2 × 2 = 0 + 0,704 762 406 502 4;
  • 35) 0,704 762 406 502 4 × 2 = 1 + 0,409 524 813 004 8;
  • 36) 0,409 524 813 004 8 × 2 = 0 + 0,819 049 626 009 6;
  • 37) 0,819 049 626 009 6 × 2 = 1 + 0,638 099 252 019 2;
  • 38) 0,638 099 252 019 2 × 2 = 1 + 0,276 198 504 038 4;
  • 39) 0,276 198 504 038 4 × 2 = 0 + 0,552 397 008 076 8;
  • 40) 0,552 397 008 076 8 × 2 = 1 + 0,104 794 016 153 6;
  • 41) 0,104 794 016 153 6 × 2 = 0 + 0,209 588 032 307 2;
  • 42) 0,209 588 032 307 2 × 2 = 0 + 0,419 176 064 614 4;
  • 43) 0,419 176 064 614 4 × 2 = 0 + 0,838 352 129 228 8;
  • 44) 0,838 352 129 228 8 × 2 = 1 + 0,676 704 258 457 6;
  • 45) 0,676 704 258 457 6 × 2 = 1 + 0,353 408 516 915 2;
  • 46) 0,353 408 516 915 2 × 2 = 0 + 0,706 817 033 830 4;
  • 47) 0,706 817 033 830 4 × 2 = 1 + 0,413 634 067 660 8;
  • 48) 0,413 634 067 660 8 × 2 = 0 + 0,827 268 135 321 6;
  • 49) 0,827 268 135 321 6 × 2 = 1 + 0,654 536 270 643 2;
  • 50) 0,654 536 270 643 2 × 2 = 1 + 0,309 072 541 286 4;
  • 51) 0,309 072 541 286 4 × 2 = 0 + 0,618 145 082 572 8;
  • 52) 0,618 145 082 572 8 × 2 = 1 + 0,236 290 165 145 6;
  • 53) 0,236 290 165 145 6 × 2 = 0 + 0,472 580 330 291 2;
  • 54) 0,472 580 330 291 2 × 2 = 0 + 0,945 160 660 582 4;
  • 55) 0,945 160 660 582 4 × 2 = 1 + 0,890 321 321 164 8;
  • 56) 0,890 321 321 164 8 × 2 = 1 + 0,780 642 642 329 6;
  • 57) 0,780 642 642 329 6 × 2 = 1 + 0,561 285 284 659 2;
  • 58) 0,561 285 284 659 2 × 2 = 1 + 0,122 570 569 318 4;
  • 59) 0,122 570 569 318 4 × 2 = 0 + 0,245 141 138 636 8;
  • 60) 0,245 141 138 636 8 × 2 = 0 + 0,490 282 277 273 6;
  • 61) 0,490 282 277 273 6 × 2 = 0 + 0,980 564 554 547 2;
  • 62) 0,980 564 554 547 2 × 2 = 1 + 0,961 129 109 094 4;
  • 63) 0,961 129 109 094 4 × 2 = 1 + 0,922 258 218 188 8;
  • 64) 0,922 258 218 188 8 × 2 = 1 + 0,844 516 436 377 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 1010 1101 0011 1100 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 920 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100