-0,000 282 005 909 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 909 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 909 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 909 7| = 0,000 282 005 909 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 909 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 909 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 819 4;
  • 2) 0,000 564 011 819 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 638 8;
  • 3) 0,001 128 023 638 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 277 6;
  • 4) 0,002 256 047 277 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 555 2;
  • 5) 0,004 512 094 555 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 110 4;
  • 6) 0,009 024 189 110 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 220 8;
  • 7) 0,018 048 378 220 8 × 2 = 0 + 0,036 096 756 441 6;
  • 8) 0,036 096 756 441 6 × 2 = 0 + 0,072 193 512 883 2;
  • 9) 0,072 193 512 883 2 × 2 = 0 + 0,144 387 025 766 4;
  • 10) 0,144 387 025 766 4 × 2 = 0 + 0,288 774 051 532 8;
  • 11) 0,288 774 051 532 8 × 2 = 0 + 0,577 548 103 065 6;
  • 12) 0,577 548 103 065 6 × 2 = 1 + 0,155 096 206 131 2;
  • 13) 0,155 096 206 131 2 × 2 = 0 + 0,310 192 412 262 4;
  • 14) 0,310 192 412 262 4 × 2 = 0 + 0,620 384 824 524 8;
  • 15) 0,620 384 824 524 8 × 2 = 1 + 0,240 769 649 049 6;
  • 16) 0,240 769 649 049 6 × 2 = 0 + 0,481 539 298 099 2;
  • 17) 0,481 539 298 099 2 × 2 = 0 + 0,963 078 596 198 4;
  • 18) 0,963 078 596 198 4 × 2 = 1 + 0,926 157 192 396 8;
  • 19) 0,926 157 192 396 8 × 2 = 1 + 0,852 314 384 793 6;
  • 20) 0,852 314 384 793 6 × 2 = 1 + 0,704 628 769 587 2;
  • 21) 0,704 628 769 587 2 × 2 = 1 + 0,409 257 539 174 4;
  • 22) 0,409 257 539 174 4 × 2 = 0 + 0,818 515 078 348 8;
  • 23) 0,818 515 078 348 8 × 2 = 1 + 0,637 030 156 697 6;
  • 24) 0,637 030 156 697 6 × 2 = 1 + 0,274 060 313 395 2;
  • 25) 0,274 060 313 395 2 × 2 = 0 + 0,548 120 626 790 4;
  • 26) 0,548 120 626 790 4 × 2 = 1 + 0,096 241 253 580 8;
  • 27) 0,096 241 253 580 8 × 2 = 0 + 0,192 482 507 161 6;
  • 28) 0,192 482 507 161 6 × 2 = 0 + 0,384 965 014 323 2;
  • 29) 0,384 965 014 323 2 × 2 = 0 + 0,769 930 028 646 4;
  • 30) 0,769 930 028 646 4 × 2 = 1 + 0,539 860 057 292 8;
  • 31) 0,539 860 057 292 8 × 2 = 1 + 0,079 720 114 585 6;
  • 32) 0,079 720 114 585 6 × 2 = 0 + 0,159 440 229 171 2;
  • 33) 0,159 440 229 171 2 × 2 = 0 + 0,318 880 458 342 4;
  • 34) 0,318 880 458 342 4 × 2 = 0 + 0,637 760 916 684 8;
  • 35) 0,637 760 916 684 8 × 2 = 1 + 0,275 521 833 369 6;
  • 36) 0,275 521 833 369 6 × 2 = 0 + 0,551 043 666 739 2;
  • 37) 0,551 043 666 739 2 × 2 = 1 + 0,102 087 333 478 4;
  • 38) 0,102 087 333 478 4 × 2 = 0 + 0,204 174 666 956 8;
  • 39) 0,204 174 666 956 8 × 2 = 0 + 0,408 349 333 913 6;
  • 40) 0,408 349 333 913 6 × 2 = 0 + 0,816 698 667 827 2;
  • 41) 0,816 698 667 827 2 × 2 = 1 + 0,633 397 335 654 4;
  • 42) 0,633 397 335 654 4 × 2 = 1 + 0,266 794 671 308 8;
  • 43) 0,266 794 671 308 8 × 2 = 0 + 0,533 589 342 617 6;
  • 44) 0,533 589 342 617 6 × 2 = 1 + 0,067 178 685 235 2;
  • 45) 0,067 178 685 235 2 × 2 = 0 + 0,134 357 370 470 4;
  • 46) 0,134 357 370 470 4 × 2 = 0 + 0,268 714 740 940 8;
  • 47) 0,268 714 740 940 8 × 2 = 0 + 0,537 429 481 881 6;
  • 48) 0,537 429 481 881 6 × 2 = 1 + 0,074 858 963 763 2;
  • 49) 0,074 858 963 763 2 × 2 = 0 + 0,149 717 927 526 4;
  • 50) 0,149 717 927 526 4 × 2 = 0 + 0,299 435 855 052 8;
  • 51) 0,299 435 855 052 8 × 2 = 0 + 0,598 871 710 105 6;
  • 52) 0,598 871 710 105 6 × 2 = 1 + 0,197 743 420 211 2;
  • 53) 0,197 743 420 211 2 × 2 = 0 + 0,395 486 840 422 4;
  • 54) 0,395 486 840 422 4 × 2 = 0 + 0,790 973 680 844 8;
  • 55) 0,790 973 680 844 8 × 2 = 1 + 0,581 947 361 689 6;
  • 56) 0,581 947 361 689 6 × 2 = 1 + 0,163 894 723 379 2;
  • 57) 0,163 894 723 379 2 × 2 = 0 + 0,327 789 446 758 4;
  • 58) 0,327 789 446 758 4 × 2 = 0 + 0,655 578 893 516 8;
  • 59) 0,655 578 893 516 8 × 2 = 1 + 0,311 157 787 033 6;
  • 60) 0,311 157 787 033 6 × 2 = 0 + 0,622 315 574 067 2;
  • 61) 0,622 315 574 067 2 × 2 = 1 + 0,244 631 148 134 4;
  • 62) 0,244 631 148 134 4 × 2 = 0 + 0,489 262 296 268 8;
  • 63) 0,489 262 296 268 8 × 2 = 0 + 0,978 524 592 537 6;
  • 64) 0,978 524 592 537 6 × 2 = 1 + 0,957 049 185 075 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 909 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 909 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 909 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 909 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1000 1101 0001 0001 0011 0010 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100