-0,000 282 005 911 44 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 911 44(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 911 44(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 911 44| = 0,000 282 005 911 44


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 911 44.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 911 44 × 2 = 0 + 0,000 564 011 822 88;
  • 2) 0,000 564 011 822 88 × 2 = 0 + 0,001 128 023 645 76;
  • 3) 0,001 128 023 645 76 × 2 = 0 + 0,002 256 047 291 52;
  • 4) 0,002 256 047 291 52 × 2 = 0 + 0,004 512 094 583 04;
  • 5) 0,004 512 094 583 04 × 2 = 0 + 0,009 024 189 166 08;
  • 6) 0,009 024 189 166 08 × 2 = 0 + 0,018 048 378 332 16;
  • 7) 0,018 048 378 332 16 × 2 = 0 + 0,036 096 756 664 32;
  • 8) 0,036 096 756 664 32 × 2 = 0 + 0,072 193 513 328 64;
  • 9) 0,072 193 513 328 64 × 2 = 0 + 0,144 387 026 657 28;
  • 10) 0,144 387 026 657 28 × 2 = 0 + 0,288 774 053 314 56;
  • 11) 0,288 774 053 314 56 × 2 = 0 + 0,577 548 106 629 12;
  • 12) 0,577 548 106 629 12 × 2 = 1 + 0,155 096 213 258 24;
  • 13) 0,155 096 213 258 24 × 2 = 0 + 0,310 192 426 516 48;
  • 14) 0,310 192 426 516 48 × 2 = 0 + 0,620 384 853 032 96;
  • 15) 0,620 384 853 032 96 × 2 = 1 + 0,240 769 706 065 92;
  • 16) 0,240 769 706 065 92 × 2 = 0 + 0,481 539 412 131 84;
  • 17) 0,481 539 412 131 84 × 2 = 0 + 0,963 078 824 263 68;
  • 18) 0,963 078 824 263 68 × 2 = 1 + 0,926 157 648 527 36;
  • 19) 0,926 157 648 527 36 × 2 = 1 + 0,852 315 297 054 72;
  • 20) 0,852 315 297 054 72 × 2 = 1 + 0,704 630 594 109 44;
  • 21) 0,704 630 594 109 44 × 2 = 1 + 0,409 261 188 218 88;
  • 22) 0,409 261 188 218 88 × 2 = 0 + 0,818 522 376 437 76;
  • 23) 0,818 522 376 437 76 × 2 = 1 + 0,637 044 752 875 52;
  • 24) 0,637 044 752 875 52 × 2 = 1 + 0,274 089 505 751 04;
  • 25) 0,274 089 505 751 04 × 2 = 0 + 0,548 179 011 502 08;
  • 26) 0,548 179 011 502 08 × 2 = 1 + 0,096 358 023 004 16;
  • 27) 0,096 358 023 004 16 × 2 = 0 + 0,192 716 046 008 32;
  • 28) 0,192 716 046 008 32 × 2 = 0 + 0,385 432 092 016 64;
  • 29) 0,385 432 092 016 64 × 2 = 0 + 0,770 864 184 033 28;
  • 30) 0,770 864 184 033 28 × 2 = 1 + 0,541 728 368 066 56;
  • 31) 0,541 728 368 066 56 × 2 = 1 + 0,083 456 736 133 12;
  • 32) 0,083 456 736 133 12 × 2 = 0 + 0,166 913 472 266 24;
  • 33) 0,166 913 472 266 24 × 2 = 0 + 0,333 826 944 532 48;
  • 34) 0,333 826 944 532 48 × 2 = 0 + 0,667 653 889 064 96;
  • 35) 0,667 653 889 064 96 × 2 = 1 + 0,335 307 778 129 92;
  • 36) 0,335 307 778 129 92 × 2 = 0 + 0,670 615 556 259 84;
  • 37) 0,670 615 556 259 84 × 2 = 1 + 0,341 231 112 519 68;
  • 38) 0,341 231 112 519 68 × 2 = 0 + 0,682 462 225 039 36;
  • 39) 0,682 462 225 039 36 × 2 = 1 + 0,364 924 450 078 72;
  • 40) 0,364 924 450 078 72 × 2 = 0 + 0,729 848 900 157 44;
  • 41) 0,729 848 900 157 44 × 2 = 1 + 0,459 697 800 314 88;
  • 42) 0,459 697 800 314 88 × 2 = 0 + 0,919 395 600 629 76;
  • 43) 0,919 395 600 629 76 × 2 = 1 + 0,838 791 201 259 52;
  • 44) 0,838 791 201 259 52 × 2 = 1 + 0,677 582 402 519 04;
  • 45) 0,677 582 402 519 04 × 2 = 1 + 0,355 164 805 038 08;
  • 46) 0,355 164 805 038 08 × 2 = 0 + 0,710 329 610 076 16;
  • 47) 0,710 329 610 076 16 × 2 = 1 + 0,420 659 220 152 32;
  • 48) 0,420 659 220 152 32 × 2 = 0 + 0,841 318 440 304 64;
  • 49) 0,841 318 440 304 64 × 2 = 1 + 0,682 636 880 609 28;
  • 50) 0,682 636 880 609 28 × 2 = 1 + 0,365 273 761 218 56;
  • 51) 0,365 273 761 218 56 × 2 = 0 + 0,730 547 522 437 12;
  • 52) 0,730 547 522 437 12 × 2 = 1 + 0,461 095 044 874 24;
  • 53) 0,461 095 044 874 24 × 2 = 0 + 0,922 190 089 748 48;
  • 54) 0,922 190 089 748 48 × 2 = 1 + 0,844 380 179 496 96;
  • 55) 0,844 380 179 496 96 × 2 = 1 + 0,688 760 358 993 92;
  • 56) 0,688 760 358 993 92 × 2 = 1 + 0,377 520 717 987 84;
  • 57) 0,377 520 717 987 84 × 2 = 0 + 0,755 041 435 975 68;
  • 58) 0,755 041 435 975 68 × 2 = 1 + 0,510 082 871 951 36;
  • 59) 0,510 082 871 951 36 × 2 = 1 + 0,020 165 743 902 72;
  • 60) 0,020 165 743 902 72 × 2 = 0 + 0,040 331 487 805 44;
  • 61) 0,040 331 487 805 44 × 2 = 0 + 0,080 662 975 610 88;
  • 62) 0,080 662 975 610 88 × 2 = 0 + 0,161 325 951 221 76;
  • 63) 0,161 325 951 221 76 × 2 = 0 + 0,322 651 902 443 52;
  • 64) 0,322 651 902 443 52 × 2 = 0 + 0,645 303 804 887 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 911 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 911 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 911 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 911 44 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1011 1010 1101 0111 0110 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 09 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100