-0,000 282 005 911 76 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 911 76(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 911 76(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 911 76| = 0,000 282 005 911 76


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 911 76.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 911 76 × 2 = 0 + 0,000 564 011 823 52;
  • 2) 0,000 564 011 823 52 × 2 = 0 + 0,001 128 023 647 04;
  • 3) 0,001 128 023 647 04 × 2 = 0 + 0,002 256 047 294 08;
  • 4) 0,002 256 047 294 08 × 2 = 0 + 0,004 512 094 588 16;
  • 5) 0,004 512 094 588 16 × 2 = 0 + 0,009 024 189 176 32;
  • 6) 0,009 024 189 176 32 × 2 = 0 + 0,018 048 378 352 64;
  • 7) 0,018 048 378 352 64 × 2 = 0 + 0,036 096 756 705 28;
  • 8) 0,036 096 756 705 28 × 2 = 0 + 0,072 193 513 410 56;
  • 9) 0,072 193 513 410 56 × 2 = 0 + 0,144 387 026 821 12;
  • 10) 0,144 387 026 821 12 × 2 = 0 + 0,288 774 053 642 24;
  • 11) 0,288 774 053 642 24 × 2 = 0 + 0,577 548 107 284 48;
  • 12) 0,577 548 107 284 48 × 2 = 1 + 0,155 096 214 568 96;
  • 13) 0,155 096 214 568 96 × 2 = 0 + 0,310 192 429 137 92;
  • 14) 0,310 192 429 137 92 × 2 = 0 + 0,620 384 858 275 84;
  • 15) 0,620 384 858 275 84 × 2 = 1 + 0,240 769 716 551 68;
  • 16) 0,240 769 716 551 68 × 2 = 0 + 0,481 539 433 103 36;
  • 17) 0,481 539 433 103 36 × 2 = 0 + 0,963 078 866 206 72;
  • 18) 0,963 078 866 206 72 × 2 = 1 + 0,926 157 732 413 44;
  • 19) 0,926 157 732 413 44 × 2 = 1 + 0,852 315 464 826 88;
  • 20) 0,852 315 464 826 88 × 2 = 1 + 0,704 630 929 653 76;
  • 21) 0,704 630 929 653 76 × 2 = 1 + 0,409 261 859 307 52;
  • 22) 0,409 261 859 307 52 × 2 = 0 + 0,818 523 718 615 04;
  • 23) 0,818 523 718 615 04 × 2 = 1 + 0,637 047 437 230 08;
  • 24) 0,637 047 437 230 08 × 2 = 1 + 0,274 094 874 460 16;
  • 25) 0,274 094 874 460 16 × 2 = 0 + 0,548 189 748 920 32;
  • 26) 0,548 189 748 920 32 × 2 = 1 + 0,096 379 497 840 64;
  • 27) 0,096 379 497 840 64 × 2 = 0 + 0,192 758 995 681 28;
  • 28) 0,192 758 995 681 28 × 2 = 0 + 0,385 517 991 362 56;
  • 29) 0,385 517 991 362 56 × 2 = 0 + 0,771 035 982 725 12;
  • 30) 0,771 035 982 725 12 × 2 = 1 + 0,542 071 965 450 24;
  • 31) 0,542 071 965 450 24 × 2 = 1 + 0,084 143 930 900 48;
  • 32) 0,084 143 930 900 48 × 2 = 0 + 0,168 287 861 800 96;
  • 33) 0,168 287 861 800 96 × 2 = 0 + 0,336 575 723 601 92;
  • 34) 0,336 575 723 601 92 × 2 = 0 + 0,673 151 447 203 84;
  • 35) 0,673 151 447 203 84 × 2 = 1 + 0,346 302 894 407 68;
  • 36) 0,346 302 894 407 68 × 2 = 0 + 0,692 605 788 815 36;
  • 37) 0,692 605 788 815 36 × 2 = 1 + 0,385 211 577 630 72;
  • 38) 0,385 211 577 630 72 × 2 = 0 + 0,770 423 155 261 44;
  • 39) 0,770 423 155 261 44 × 2 = 1 + 0,540 846 310 522 88;
  • 40) 0,540 846 310 522 88 × 2 = 1 + 0,081 692 621 045 76;
  • 41) 0,081 692 621 045 76 × 2 = 0 + 0,163 385 242 091 52;
  • 42) 0,163 385 242 091 52 × 2 = 0 + 0,326 770 484 183 04;
  • 43) 0,326 770 484 183 04 × 2 = 0 + 0,653 540 968 366 08;
  • 44) 0,653 540 968 366 08 × 2 = 1 + 0,307 081 936 732 16;
  • 45) 0,307 081 936 732 16 × 2 = 0 + 0,614 163 873 464 32;
  • 46) 0,614 163 873 464 32 × 2 = 1 + 0,228 327 746 928 64;
  • 47) 0,228 327 746 928 64 × 2 = 0 + 0,456 655 493 857 28;
  • 48) 0,456 655 493 857 28 × 2 = 0 + 0,913 310 987 714 56;
  • 49) 0,913 310 987 714 56 × 2 = 1 + 0,826 621 975 429 12;
  • 50) 0,826 621 975 429 12 × 2 = 1 + 0,653 243 950 858 24;
  • 51) 0,653 243 950 858 24 × 2 = 1 + 0,306 487 901 716 48;
  • 52) 0,306 487 901 716 48 × 2 = 0 + 0,612 975 803 432 96;
  • 53) 0,612 975 803 432 96 × 2 = 1 + 0,225 951 606 865 92;
  • 54) 0,225 951 606 865 92 × 2 = 0 + 0,451 903 213 731 84;
  • 55) 0,451 903 213 731 84 × 2 = 0 + 0,903 806 427 463 68;
  • 56) 0,903 806 427 463 68 × 2 = 1 + 0,807 612 854 927 36;
  • 57) 0,807 612 854 927 36 × 2 = 1 + 0,615 225 709 854 72;
  • 58) 0,615 225 709 854 72 × 2 = 1 + 0,230 451 419 709 44;
  • 59) 0,230 451 419 709 44 × 2 = 0 + 0,460 902 839 418 88;
  • 60) 0,460 902 839 418 88 × 2 = 0 + 0,921 805 678 837 76;
  • 61) 0,921 805 678 837 76 × 2 = 1 + 0,843 611 357 675 52;
  • 62) 0,843 611 357 675 52 × 2 = 1 + 0,687 222 715 351 04;
  • 63) 0,687 222 715 351 04 × 2 = 1 + 0,374 445 430 702 08;
  • 64) 0,374 445 430 702 08 × 2 = 0 + 0,748 890 861 404 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 911 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 911 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 911 76(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 911 76 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0001 0100 1110 1001 1100 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 37 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100