-0,000 282 005 912 08 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 08(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 08(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 08| = 0,000 282 005 912 08


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 08.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 08 × 2 = 0 + 0,000 564 011 824 16;
  • 2) 0,000 564 011 824 16 × 2 = 0 + 0,001 128 023 648 32;
  • 3) 0,001 128 023 648 32 × 2 = 0 + 0,002 256 047 296 64;
  • 4) 0,002 256 047 296 64 × 2 = 0 + 0,004 512 094 593 28;
  • 5) 0,004 512 094 593 28 × 2 = 0 + 0,009 024 189 186 56;
  • 6) 0,009 024 189 186 56 × 2 = 0 + 0,018 048 378 373 12;
  • 7) 0,018 048 378 373 12 × 2 = 0 + 0,036 096 756 746 24;
  • 8) 0,036 096 756 746 24 × 2 = 0 + 0,072 193 513 492 48;
  • 9) 0,072 193 513 492 48 × 2 = 0 + 0,144 387 026 984 96;
  • 10) 0,144 387 026 984 96 × 2 = 0 + 0,288 774 053 969 92;
  • 11) 0,288 774 053 969 92 × 2 = 0 + 0,577 548 107 939 84;
  • 12) 0,577 548 107 939 84 × 2 = 1 + 0,155 096 215 879 68;
  • 13) 0,155 096 215 879 68 × 2 = 0 + 0,310 192 431 759 36;
  • 14) 0,310 192 431 759 36 × 2 = 0 + 0,620 384 863 518 72;
  • 15) 0,620 384 863 518 72 × 2 = 1 + 0,240 769 727 037 44;
  • 16) 0,240 769 727 037 44 × 2 = 0 + 0,481 539 454 074 88;
  • 17) 0,481 539 454 074 88 × 2 = 0 + 0,963 078 908 149 76;
  • 18) 0,963 078 908 149 76 × 2 = 1 + 0,926 157 816 299 52;
  • 19) 0,926 157 816 299 52 × 2 = 1 + 0,852 315 632 599 04;
  • 20) 0,852 315 632 599 04 × 2 = 1 + 0,704 631 265 198 08;
  • 21) 0,704 631 265 198 08 × 2 = 1 + 0,409 262 530 396 16;
  • 22) 0,409 262 530 396 16 × 2 = 0 + 0,818 525 060 792 32;
  • 23) 0,818 525 060 792 32 × 2 = 1 + 0,637 050 121 584 64;
  • 24) 0,637 050 121 584 64 × 2 = 1 + 0,274 100 243 169 28;
  • 25) 0,274 100 243 169 28 × 2 = 0 + 0,548 200 486 338 56;
  • 26) 0,548 200 486 338 56 × 2 = 1 + 0,096 400 972 677 12;
  • 27) 0,096 400 972 677 12 × 2 = 0 + 0,192 801 945 354 24;
  • 28) 0,192 801 945 354 24 × 2 = 0 + 0,385 603 890 708 48;
  • 29) 0,385 603 890 708 48 × 2 = 0 + 0,771 207 781 416 96;
  • 30) 0,771 207 781 416 96 × 2 = 1 + 0,542 415 562 833 92;
  • 31) 0,542 415 562 833 92 × 2 = 1 + 0,084 831 125 667 84;
  • 32) 0,084 831 125 667 84 × 2 = 0 + 0,169 662 251 335 68;
  • 33) 0,169 662 251 335 68 × 2 = 0 + 0,339 324 502 671 36;
  • 34) 0,339 324 502 671 36 × 2 = 0 + 0,678 649 005 342 72;
  • 35) 0,678 649 005 342 72 × 2 = 1 + 0,357 298 010 685 44;
  • 36) 0,357 298 010 685 44 × 2 = 0 + 0,714 596 021 370 88;
  • 37) 0,714 596 021 370 88 × 2 = 1 + 0,429 192 042 741 76;
  • 38) 0,429 192 042 741 76 × 2 = 0 + 0,858 384 085 483 52;
  • 39) 0,858 384 085 483 52 × 2 = 1 + 0,716 768 170 967 04;
  • 40) 0,716 768 170 967 04 × 2 = 1 + 0,433 536 341 934 08;
  • 41) 0,433 536 341 934 08 × 2 = 0 + 0,867 072 683 868 16;
  • 42) 0,867 072 683 868 16 × 2 = 1 + 0,734 145 367 736 32;
  • 43) 0,734 145 367 736 32 × 2 = 1 + 0,468 290 735 472 64;
  • 44) 0,468 290 735 472 64 × 2 = 0 + 0,936 581 470 945 28;
  • 45) 0,936 581 470 945 28 × 2 = 1 + 0,873 162 941 890 56;
  • 46) 0,873 162 941 890 56 × 2 = 1 + 0,746 325 883 781 12;
  • 47) 0,746 325 883 781 12 × 2 = 1 + 0,492 651 767 562 24;
  • 48) 0,492 651 767 562 24 × 2 = 0 + 0,985 303 535 124 48;
  • 49) 0,985 303 535 124 48 × 2 = 1 + 0,970 607 070 248 96;
  • 50) 0,970 607 070 248 96 × 2 = 1 + 0,941 214 140 497 92;
  • 51) 0,941 214 140 497 92 × 2 = 1 + 0,882 428 280 995 84;
  • 52) 0,882 428 280 995 84 × 2 = 1 + 0,764 856 561 991 68;
  • 53) 0,764 856 561 991 68 × 2 = 1 + 0,529 713 123 983 36;
  • 54) 0,529 713 123 983 36 × 2 = 1 + 0,059 426 247 966 72;
  • 55) 0,059 426 247 966 72 × 2 = 0 + 0,118 852 495 933 44;
  • 56) 0,118 852 495 933 44 × 2 = 0 + 0,237 704 991 866 88;
  • 57) 0,237 704 991 866 88 × 2 = 0 + 0,475 409 983 733 76;
  • 58) 0,475 409 983 733 76 × 2 = 0 + 0,950 819 967 467 52;
  • 59) 0,950 819 967 467 52 × 2 = 1 + 0,901 639 934 935 04;
  • 60) 0,901 639 934 935 04 × 2 = 1 + 0,803 279 869 870 08;
  • 61) 0,803 279 869 870 08 × 2 = 1 + 0,606 559 739 740 16;
  • 62) 0,606 559 739 740 16 × 2 = 1 + 0,213 119 479 480 32;
  • 63) 0,213 119 479 480 32 × 2 = 0 + 0,426 238 958 960 64;
  • 64) 0,426 238 958 960 64 × 2 = 0 + 0,852 477 917 921 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 08(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 08(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 08(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 08 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0110 1110 1111 1100 0011 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 34 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100