-0,000 282 005 912 24 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 24(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 24(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 24| = 0,000 282 005 912 24


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 24.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 24 × 2 = 0 + 0,000 564 011 824 48;
  • 2) 0,000 564 011 824 48 × 2 = 0 + 0,001 128 023 648 96;
  • 3) 0,001 128 023 648 96 × 2 = 0 + 0,002 256 047 297 92;
  • 4) 0,002 256 047 297 92 × 2 = 0 + 0,004 512 094 595 84;
  • 5) 0,004 512 094 595 84 × 2 = 0 + 0,009 024 189 191 68;
  • 6) 0,009 024 189 191 68 × 2 = 0 + 0,018 048 378 383 36;
  • 7) 0,018 048 378 383 36 × 2 = 0 + 0,036 096 756 766 72;
  • 8) 0,036 096 756 766 72 × 2 = 0 + 0,072 193 513 533 44;
  • 9) 0,072 193 513 533 44 × 2 = 0 + 0,144 387 027 066 88;
  • 10) 0,144 387 027 066 88 × 2 = 0 + 0,288 774 054 133 76;
  • 11) 0,288 774 054 133 76 × 2 = 0 + 0,577 548 108 267 52;
  • 12) 0,577 548 108 267 52 × 2 = 1 + 0,155 096 216 535 04;
  • 13) 0,155 096 216 535 04 × 2 = 0 + 0,310 192 433 070 08;
  • 14) 0,310 192 433 070 08 × 2 = 0 + 0,620 384 866 140 16;
  • 15) 0,620 384 866 140 16 × 2 = 1 + 0,240 769 732 280 32;
  • 16) 0,240 769 732 280 32 × 2 = 0 + 0,481 539 464 560 64;
  • 17) 0,481 539 464 560 64 × 2 = 0 + 0,963 078 929 121 28;
  • 18) 0,963 078 929 121 28 × 2 = 1 + 0,926 157 858 242 56;
  • 19) 0,926 157 858 242 56 × 2 = 1 + 0,852 315 716 485 12;
  • 20) 0,852 315 716 485 12 × 2 = 1 + 0,704 631 432 970 24;
  • 21) 0,704 631 432 970 24 × 2 = 1 + 0,409 262 865 940 48;
  • 22) 0,409 262 865 940 48 × 2 = 0 + 0,818 525 731 880 96;
  • 23) 0,818 525 731 880 96 × 2 = 1 + 0,637 051 463 761 92;
  • 24) 0,637 051 463 761 92 × 2 = 1 + 0,274 102 927 523 84;
  • 25) 0,274 102 927 523 84 × 2 = 0 + 0,548 205 855 047 68;
  • 26) 0,548 205 855 047 68 × 2 = 1 + 0,096 411 710 095 36;
  • 27) 0,096 411 710 095 36 × 2 = 0 + 0,192 823 420 190 72;
  • 28) 0,192 823 420 190 72 × 2 = 0 + 0,385 646 840 381 44;
  • 29) 0,385 646 840 381 44 × 2 = 0 + 0,771 293 680 762 88;
  • 30) 0,771 293 680 762 88 × 2 = 1 + 0,542 587 361 525 76;
  • 31) 0,542 587 361 525 76 × 2 = 1 + 0,085 174 723 051 52;
  • 32) 0,085 174 723 051 52 × 2 = 0 + 0,170 349 446 103 04;
  • 33) 0,170 349 446 103 04 × 2 = 0 + 0,340 698 892 206 08;
  • 34) 0,340 698 892 206 08 × 2 = 0 + 0,681 397 784 412 16;
  • 35) 0,681 397 784 412 16 × 2 = 1 + 0,362 795 568 824 32;
  • 36) 0,362 795 568 824 32 × 2 = 0 + 0,725 591 137 648 64;
  • 37) 0,725 591 137 648 64 × 2 = 1 + 0,451 182 275 297 28;
  • 38) 0,451 182 275 297 28 × 2 = 0 + 0,902 364 550 594 56;
  • 39) 0,902 364 550 594 56 × 2 = 1 + 0,804 729 101 189 12;
  • 40) 0,804 729 101 189 12 × 2 = 1 + 0,609 458 202 378 24;
  • 41) 0,609 458 202 378 24 × 2 = 1 + 0,218 916 404 756 48;
  • 42) 0,218 916 404 756 48 × 2 = 0 + 0,437 832 809 512 96;
  • 43) 0,437 832 809 512 96 × 2 = 0 + 0,875 665 619 025 92;
  • 44) 0,875 665 619 025 92 × 2 = 1 + 0,751 331 238 051 84;
  • 45) 0,751 331 238 051 84 × 2 = 1 + 0,502 662 476 103 68;
  • 46) 0,502 662 476 103 68 × 2 = 1 + 0,005 324 952 207 36;
  • 47) 0,005 324 952 207 36 × 2 = 0 + 0,010 649 904 414 72;
  • 48) 0,010 649 904 414 72 × 2 = 0 + 0,021 299 808 829 44;
  • 49) 0,021 299 808 829 44 × 2 = 0 + 0,042 599 617 658 88;
  • 50) 0,042 599 617 658 88 × 2 = 0 + 0,085 199 235 317 76;
  • 51) 0,085 199 235 317 76 × 2 = 0 + 0,170 398 470 635 52;
  • 52) 0,170 398 470 635 52 × 2 = 0 + 0,340 796 941 271 04;
  • 53) 0,340 796 941 271 04 × 2 = 0 + 0,681 593 882 542 08;
  • 54) 0,681 593 882 542 08 × 2 = 1 + 0,363 187 765 084 16;
  • 55) 0,363 187 765 084 16 × 2 = 0 + 0,726 375 530 168 32;
  • 56) 0,726 375 530 168 32 × 2 = 1 + 0,452 751 060 336 64;
  • 57) 0,452 751 060 336 64 × 2 = 0 + 0,905 502 120 673 28;
  • 58) 0,905 502 120 673 28 × 2 = 1 + 0,811 004 241 346 56;
  • 59) 0,811 004 241 346 56 × 2 = 1 + 0,622 008 482 693 12;
  • 60) 0,622 008 482 693 12 × 2 = 1 + 0,244 016 965 386 24;
  • 61) 0,244 016 965 386 24 × 2 = 0 + 0,488 033 930 772 48;
  • 62) 0,488 033 930 772 48 × 2 = 0 + 0,976 067 861 544 96;
  • 63) 0,976 067 861 544 96 × 2 = 1 + 0,952 135 723 089 92;
  • 64) 0,952 135 723 089 92 × 2 = 1 + 0,904 271 446 179 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 24 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 1100 0000 0101 0111 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 912 28 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100