-0,000 282 005 912 61 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 61(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 61(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 61| = 0,000 282 005 912 61


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 61.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 61 × 2 = 0 + 0,000 564 011 825 22;
  • 2) 0,000 564 011 825 22 × 2 = 0 + 0,001 128 023 650 44;
  • 3) 0,001 128 023 650 44 × 2 = 0 + 0,002 256 047 300 88;
  • 4) 0,002 256 047 300 88 × 2 = 0 + 0,004 512 094 601 76;
  • 5) 0,004 512 094 601 76 × 2 = 0 + 0,009 024 189 203 52;
  • 6) 0,009 024 189 203 52 × 2 = 0 + 0,018 048 378 407 04;
  • 7) 0,018 048 378 407 04 × 2 = 0 + 0,036 096 756 814 08;
  • 8) 0,036 096 756 814 08 × 2 = 0 + 0,072 193 513 628 16;
  • 9) 0,072 193 513 628 16 × 2 = 0 + 0,144 387 027 256 32;
  • 10) 0,144 387 027 256 32 × 2 = 0 + 0,288 774 054 512 64;
  • 11) 0,288 774 054 512 64 × 2 = 0 + 0,577 548 109 025 28;
  • 12) 0,577 548 109 025 28 × 2 = 1 + 0,155 096 218 050 56;
  • 13) 0,155 096 218 050 56 × 2 = 0 + 0,310 192 436 101 12;
  • 14) 0,310 192 436 101 12 × 2 = 0 + 0,620 384 872 202 24;
  • 15) 0,620 384 872 202 24 × 2 = 1 + 0,240 769 744 404 48;
  • 16) 0,240 769 744 404 48 × 2 = 0 + 0,481 539 488 808 96;
  • 17) 0,481 539 488 808 96 × 2 = 0 + 0,963 078 977 617 92;
  • 18) 0,963 078 977 617 92 × 2 = 1 + 0,926 157 955 235 84;
  • 19) 0,926 157 955 235 84 × 2 = 1 + 0,852 315 910 471 68;
  • 20) 0,852 315 910 471 68 × 2 = 1 + 0,704 631 820 943 36;
  • 21) 0,704 631 820 943 36 × 2 = 1 + 0,409 263 641 886 72;
  • 22) 0,409 263 641 886 72 × 2 = 0 + 0,818 527 283 773 44;
  • 23) 0,818 527 283 773 44 × 2 = 1 + 0,637 054 567 546 88;
  • 24) 0,637 054 567 546 88 × 2 = 1 + 0,274 109 135 093 76;
  • 25) 0,274 109 135 093 76 × 2 = 0 + 0,548 218 270 187 52;
  • 26) 0,548 218 270 187 52 × 2 = 1 + 0,096 436 540 375 04;
  • 27) 0,096 436 540 375 04 × 2 = 0 + 0,192 873 080 750 08;
  • 28) 0,192 873 080 750 08 × 2 = 0 + 0,385 746 161 500 16;
  • 29) 0,385 746 161 500 16 × 2 = 0 + 0,771 492 323 000 32;
  • 30) 0,771 492 323 000 32 × 2 = 1 + 0,542 984 646 000 64;
  • 31) 0,542 984 646 000 64 × 2 = 1 + 0,085 969 292 001 28;
  • 32) 0,085 969 292 001 28 × 2 = 0 + 0,171 938 584 002 56;
  • 33) 0,171 938 584 002 56 × 2 = 0 + 0,343 877 168 005 12;
  • 34) 0,343 877 168 005 12 × 2 = 0 + 0,687 754 336 010 24;
  • 35) 0,687 754 336 010 24 × 2 = 1 + 0,375 508 672 020 48;
  • 36) 0,375 508 672 020 48 × 2 = 0 + 0,751 017 344 040 96;
  • 37) 0,751 017 344 040 96 × 2 = 1 + 0,502 034 688 081 92;
  • 38) 0,502 034 688 081 92 × 2 = 1 + 0,004 069 376 163 84;
  • 39) 0,004 069 376 163 84 × 2 = 0 + 0,008 138 752 327 68;
  • 40) 0,008 138 752 327 68 × 2 = 0 + 0,016 277 504 655 36;
  • 41) 0,016 277 504 655 36 × 2 = 0 + 0,032 555 009 310 72;
  • 42) 0,032 555 009 310 72 × 2 = 0 + 0,065 110 018 621 44;
  • 43) 0,065 110 018 621 44 × 2 = 0 + 0,130 220 037 242 88;
  • 44) 0,130 220 037 242 88 × 2 = 0 + 0,260 440 074 485 76;
  • 45) 0,260 440 074 485 76 × 2 = 0 + 0,520 880 148 971 52;
  • 46) 0,520 880 148 971 52 × 2 = 1 + 0,041 760 297 943 04;
  • 47) 0,041 760 297 943 04 × 2 = 0 + 0,083 520 595 886 08;
  • 48) 0,083 520 595 886 08 × 2 = 0 + 0,167 041 191 772 16;
  • 49) 0,167 041 191 772 16 × 2 = 0 + 0,334 082 383 544 32;
  • 50) 0,334 082 383 544 32 × 2 = 0 + 0,668 164 767 088 64;
  • 51) 0,668 164 767 088 64 × 2 = 1 + 0,336 329 534 177 28;
  • 52) 0,336 329 534 177 28 × 2 = 0 + 0,672 659 068 354 56;
  • 53) 0,672 659 068 354 56 × 2 = 1 + 0,345 318 136 709 12;
  • 54) 0,345 318 136 709 12 × 2 = 0 + 0,690 636 273 418 24;
  • 55) 0,690 636 273 418 24 × 2 = 1 + 0,381 272 546 836 48;
  • 56) 0,381 272 546 836 48 × 2 = 0 + 0,762 545 093 672 96;
  • 57) 0,762 545 093 672 96 × 2 = 1 + 0,525 090 187 345 92;
  • 58) 0,525 090 187 345 92 × 2 = 1 + 0,050 180 374 691 84;
  • 59) 0,050 180 374 691 84 × 2 = 0 + 0,100 360 749 383 68;
  • 60) 0,100 360 749 383 68 × 2 = 0 + 0,200 721 498 767 36;
  • 61) 0,200 721 498 767 36 × 2 = 0 + 0,401 442 997 534 72;
  • 62) 0,401 442 997 534 72 × 2 = 0 + 0,802 885 995 069 44;
  • 63) 0,802 885 995 069 44 × 2 = 1 + 0,605 771 990 138 88;
  • 64) 0,605 771 990 138 88 × 2 = 1 + 0,211 543 980 277 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 61(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 61(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 61(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 61 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0000 0100 0010 1010 1100 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 79 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100