-0,000 282 005 912 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 9| = 0,000 282 005 912 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 825 8;
  • 2) 0,000 564 011 825 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 651 6;
  • 3) 0,001 128 023 651 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 303 2;
  • 4) 0,002 256 047 303 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 606 4;
  • 5) 0,004 512 094 606 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 212 8;
  • 6) 0,009 024 189 212 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 425 6;
  • 7) 0,018 048 378 425 6 × 2 = 0 + 0,036 096 756 851 2;
  • 8) 0,036 096 756 851 2 × 2 = 0 + 0,072 193 513 702 4;
  • 9) 0,072 193 513 702 4 × 2 = 0 + 0,144 387 027 404 8;
  • 10) 0,144 387 027 404 8 × 2 = 0 + 0,288 774 054 809 6;
  • 11) 0,288 774 054 809 6 × 2 = 0 + 0,577 548 109 619 2;
  • 12) 0,577 548 109 619 2 × 2 = 1 + 0,155 096 219 238 4;
  • 13) 0,155 096 219 238 4 × 2 = 0 + 0,310 192 438 476 8;
  • 14) 0,310 192 438 476 8 × 2 = 0 + 0,620 384 876 953 6;
  • 15) 0,620 384 876 953 6 × 2 = 1 + 0,240 769 753 907 2;
  • 16) 0,240 769 753 907 2 × 2 = 0 + 0,481 539 507 814 4;
  • 17) 0,481 539 507 814 4 × 2 = 0 + 0,963 079 015 628 8;
  • 18) 0,963 079 015 628 8 × 2 = 1 + 0,926 158 031 257 6;
  • 19) 0,926 158 031 257 6 × 2 = 1 + 0,852 316 062 515 2;
  • 20) 0,852 316 062 515 2 × 2 = 1 + 0,704 632 125 030 4;
  • 21) 0,704 632 125 030 4 × 2 = 1 + 0,409 264 250 060 8;
  • 22) 0,409 264 250 060 8 × 2 = 0 + 0,818 528 500 121 6;
  • 23) 0,818 528 500 121 6 × 2 = 1 + 0,637 057 000 243 2;
  • 24) 0,637 057 000 243 2 × 2 = 1 + 0,274 114 000 486 4;
  • 25) 0,274 114 000 486 4 × 2 = 0 + 0,548 228 000 972 8;
  • 26) 0,548 228 000 972 8 × 2 = 1 + 0,096 456 001 945 6;
  • 27) 0,096 456 001 945 6 × 2 = 0 + 0,192 912 003 891 2;
  • 28) 0,192 912 003 891 2 × 2 = 0 + 0,385 824 007 782 4;
  • 29) 0,385 824 007 782 4 × 2 = 0 + 0,771 648 015 564 8;
  • 30) 0,771 648 015 564 8 × 2 = 1 + 0,543 296 031 129 6;
  • 31) 0,543 296 031 129 6 × 2 = 1 + 0,086 592 062 259 2;
  • 32) 0,086 592 062 259 2 × 2 = 0 + 0,173 184 124 518 4;
  • 33) 0,173 184 124 518 4 × 2 = 0 + 0,346 368 249 036 8;
  • 34) 0,346 368 249 036 8 × 2 = 0 + 0,692 736 498 073 6;
  • 35) 0,692 736 498 073 6 × 2 = 1 + 0,385 472 996 147 2;
  • 36) 0,385 472 996 147 2 × 2 = 0 + 0,770 945 992 294 4;
  • 37) 0,770 945 992 294 4 × 2 = 1 + 0,541 891 984 588 8;
  • 38) 0,541 891 984 588 8 × 2 = 1 + 0,083 783 969 177 6;
  • 39) 0,083 783 969 177 6 × 2 = 0 + 0,167 567 938 355 2;
  • 40) 0,167 567 938 355 2 × 2 = 0 + 0,335 135 876 710 4;
  • 41) 0,335 135 876 710 4 × 2 = 0 + 0,670 271 753 420 8;
  • 42) 0,670 271 753 420 8 × 2 = 1 + 0,340 543 506 841 6;
  • 43) 0,340 543 506 841 6 × 2 = 0 + 0,681 087 013 683 2;
  • 44) 0,681 087 013 683 2 × 2 = 1 + 0,362 174 027 366 4;
  • 45) 0,362 174 027 366 4 × 2 = 0 + 0,724 348 054 732 8;
  • 46) 0,724 348 054 732 8 × 2 = 1 + 0,448 696 109 465 6;
  • 47) 0,448 696 109 465 6 × 2 = 0 + 0,897 392 218 931 2;
  • 48) 0,897 392 218 931 2 × 2 = 1 + 0,794 784 437 862 4;
  • 49) 0,794 784 437 862 4 × 2 = 1 + 0,589 568 875 724 8;
  • 50) 0,589 568 875 724 8 × 2 = 1 + 0,179 137 751 449 6;
  • 51) 0,179 137 751 449 6 × 2 = 0 + 0,358 275 502 899 2;
  • 52) 0,358 275 502 899 2 × 2 = 0 + 0,716 551 005 798 4;
  • 53) 0,716 551 005 798 4 × 2 = 1 + 0,433 102 011 596 8;
  • 54) 0,433 102 011 596 8 × 2 = 0 + 0,866 204 023 193 6;
  • 55) 0,866 204 023 193 6 × 2 = 1 + 0,732 408 046 387 2;
  • 56) 0,732 408 046 387 2 × 2 = 1 + 0,464 816 092 774 4;
  • 57) 0,464 816 092 774 4 × 2 = 0 + 0,929 632 185 548 8;
  • 58) 0,929 632 185 548 8 × 2 = 1 + 0,859 264 371 097 6;
  • 59) 0,859 264 371 097 6 × 2 = 1 + 0,718 528 742 195 2;
  • 60) 0,718 528 742 195 2 × 2 = 1 + 0,437 057 484 390 4;
  • 61) 0,437 057 484 390 4 × 2 = 0 + 0,874 114 968 780 8;
  • 62) 0,874 114 968 780 8 × 2 = 1 + 0,748 229 937 561 6;
  • 63) 0,748 229 937 561 6 × 2 = 1 + 0,496 459 875 123 2;
  • 64) 0,496 459 875 123 2 × 2 = 0 + 0,992 919 750 246 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0101 0101 1100 1011 0111 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 907 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100