-0,000 282 005 913 12 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 12(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 12(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 12| = 0,000 282 005 913 12


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 12.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 12 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 24;
  • 2) 0,000 564 011 826 24 × 2 = 0 + 0,001 128 023 652 48;
  • 3) 0,001 128 023 652 48 × 2 = 0 + 0,002 256 047 304 96;
  • 4) 0,002 256 047 304 96 × 2 = 0 + 0,004 512 094 609 92;
  • 5) 0,004 512 094 609 92 × 2 = 0 + 0,009 024 189 219 84;
  • 6) 0,009 024 189 219 84 × 2 = 0 + 0,018 048 378 439 68;
  • 7) 0,018 048 378 439 68 × 2 = 0 + 0,036 096 756 879 36;
  • 8) 0,036 096 756 879 36 × 2 = 0 + 0,072 193 513 758 72;
  • 9) 0,072 193 513 758 72 × 2 = 0 + 0,144 387 027 517 44;
  • 10) 0,144 387 027 517 44 × 2 = 0 + 0,288 774 055 034 88;
  • 11) 0,288 774 055 034 88 × 2 = 0 + 0,577 548 110 069 76;
  • 12) 0,577 548 110 069 76 × 2 = 1 + 0,155 096 220 139 52;
  • 13) 0,155 096 220 139 52 × 2 = 0 + 0,310 192 440 279 04;
  • 14) 0,310 192 440 279 04 × 2 = 0 + 0,620 384 880 558 08;
  • 15) 0,620 384 880 558 08 × 2 = 1 + 0,240 769 761 116 16;
  • 16) 0,240 769 761 116 16 × 2 = 0 + 0,481 539 522 232 32;
  • 17) 0,481 539 522 232 32 × 2 = 0 + 0,963 079 044 464 64;
  • 18) 0,963 079 044 464 64 × 2 = 1 + 0,926 158 088 929 28;
  • 19) 0,926 158 088 929 28 × 2 = 1 + 0,852 316 177 858 56;
  • 20) 0,852 316 177 858 56 × 2 = 1 + 0,704 632 355 717 12;
  • 21) 0,704 632 355 717 12 × 2 = 1 + 0,409 264 711 434 24;
  • 22) 0,409 264 711 434 24 × 2 = 0 + 0,818 529 422 868 48;
  • 23) 0,818 529 422 868 48 × 2 = 1 + 0,637 058 845 736 96;
  • 24) 0,637 058 845 736 96 × 2 = 1 + 0,274 117 691 473 92;
  • 25) 0,274 117 691 473 92 × 2 = 0 + 0,548 235 382 947 84;
  • 26) 0,548 235 382 947 84 × 2 = 1 + 0,096 470 765 895 68;
  • 27) 0,096 470 765 895 68 × 2 = 0 + 0,192 941 531 791 36;
  • 28) 0,192 941 531 791 36 × 2 = 0 + 0,385 883 063 582 72;
  • 29) 0,385 883 063 582 72 × 2 = 0 + 0,771 766 127 165 44;
  • 30) 0,771 766 127 165 44 × 2 = 1 + 0,543 532 254 330 88;
  • 31) 0,543 532 254 330 88 × 2 = 1 + 0,087 064 508 661 76;
  • 32) 0,087 064 508 661 76 × 2 = 0 + 0,174 129 017 323 52;
  • 33) 0,174 129 017 323 52 × 2 = 0 + 0,348 258 034 647 04;
  • 34) 0,348 258 034 647 04 × 2 = 0 + 0,696 516 069 294 08;
  • 35) 0,696 516 069 294 08 × 2 = 1 + 0,393 032 138 588 16;
  • 36) 0,393 032 138 588 16 × 2 = 0 + 0,786 064 277 176 32;
  • 37) 0,786 064 277 176 32 × 2 = 1 + 0,572 128 554 352 64;
  • 38) 0,572 128 554 352 64 × 2 = 1 + 0,144 257 108 705 28;
  • 39) 0,144 257 108 705 28 × 2 = 0 + 0,288 514 217 410 56;
  • 40) 0,288 514 217 410 56 × 2 = 0 + 0,577 028 434 821 12;
  • 41) 0,577 028 434 821 12 × 2 = 1 + 0,154 056 869 642 24;
  • 42) 0,154 056 869 642 24 × 2 = 0 + 0,308 113 739 284 48;
  • 43) 0,308 113 739 284 48 × 2 = 0 + 0,616 227 478 568 96;
  • 44) 0,616 227 478 568 96 × 2 = 1 + 0,232 454 957 137 92;
  • 45) 0,232 454 957 137 92 × 2 = 0 + 0,464 909 914 275 84;
  • 46) 0,464 909 914 275 84 × 2 = 0 + 0,929 819 828 551 68;
  • 47) 0,929 819 828 551 68 × 2 = 1 + 0,859 639 657 103 36;
  • 48) 0,859 639 657 103 36 × 2 = 1 + 0,719 279 314 206 72;
  • 49) 0,719 279 314 206 72 × 2 = 1 + 0,438 558 628 413 44;
  • 50) 0,438 558 628 413 44 × 2 = 0 + 0,877 117 256 826 88;
  • 51) 0,877 117 256 826 88 × 2 = 1 + 0,754 234 513 653 76;
  • 52) 0,754 234 513 653 76 × 2 = 1 + 0,508 469 027 307 52;
  • 53) 0,508 469 027 307 52 × 2 = 1 + 0,016 938 054 615 04;
  • 54) 0,016 938 054 615 04 × 2 = 0 + 0,033 876 109 230 08;
  • 55) 0,033 876 109 230 08 × 2 = 0 + 0,067 752 218 460 16;
  • 56) 0,067 752 218 460 16 × 2 = 0 + 0,135 504 436 920 32;
  • 57) 0,135 504 436 920 32 × 2 = 0 + 0,271 008 873 840 64;
  • 58) 0,271 008 873 840 64 × 2 = 0 + 0,542 017 747 681 28;
  • 59) 0,542 017 747 681 28 × 2 = 1 + 0,084 035 495 362 56;
  • 60) 0,084 035 495 362 56 × 2 = 0 + 0,168 070 990 725 12;
  • 61) 0,168 070 990 725 12 × 2 = 0 + 0,336 141 981 450 24;
  • 62) 0,336 141 981 450 24 × 2 = 0 + 0,672 283 962 900 48;
  • 63) 0,672 283 962 900 48 × 2 = 1 + 0,344 567 925 800 96;
  • 64) 0,344 567 925 800 96 × 2 = 0 + 0,689 135 851 601 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 12(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 12 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1001 0011 1011 1000 0010 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 912 29 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100