-0,000 282 005 913 27 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 27(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 27(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 27| = 0,000 282 005 913 27


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 27.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 27 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 54;
  • 2) 0,000 564 011 826 54 × 2 = 0 + 0,001 128 023 653 08;
  • 3) 0,001 128 023 653 08 × 2 = 0 + 0,002 256 047 306 16;
  • 4) 0,002 256 047 306 16 × 2 = 0 + 0,004 512 094 612 32;
  • 5) 0,004 512 094 612 32 × 2 = 0 + 0,009 024 189 224 64;
  • 6) 0,009 024 189 224 64 × 2 = 0 + 0,018 048 378 449 28;
  • 7) 0,018 048 378 449 28 × 2 = 0 + 0,036 096 756 898 56;
  • 8) 0,036 096 756 898 56 × 2 = 0 + 0,072 193 513 797 12;
  • 9) 0,072 193 513 797 12 × 2 = 0 + 0,144 387 027 594 24;
  • 10) 0,144 387 027 594 24 × 2 = 0 + 0,288 774 055 188 48;
  • 11) 0,288 774 055 188 48 × 2 = 0 + 0,577 548 110 376 96;
  • 12) 0,577 548 110 376 96 × 2 = 1 + 0,155 096 220 753 92;
  • 13) 0,155 096 220 753 92 × 2 = 0 + 0,310 192 441 507 84;
  • 14) 0,310 192 441 507 84 × 2 = 0 + 0,620 384 883 015 68;
  • 15) 0,620 384 883 015 68 × 2 = 1 + 0,240 769 766 031 36;
  • 16) 0,240 769 766 031 36 × 2 = 0 + 0,481 539 532 062 72;
  • 17) 0,481 539 532 062 72 × 2 = 0 + 0,963 079 064 125 44;
  • 18) 0,963 079 064 125 44 × 2 = 1 + 0,926 158 128 250 88;
  • 19) 0,926 158 128 250 88 × 2 = 1 + 0,852 316 256 501 76;
  • 20) 0,852 316 256 501 76 × 2 = 1 + 0,704 632 513 003 52;
  • 21) 0,704 632 513 003 52 × 2 = 1 + 0,409 265 026 007 04;
  • 22) 0,409 265 026 007 04 × 2 = 0 + 0,818 530 052 014 08;
  • 23) 0,818 530 052 014 08 × 2 = 1 + 0,637 060 104 028 16;
  • 24) 0,637 060 104 028 16 × 2 = 1 + 0,274 120 208 056 32;
  • 25) 0,274 120 208 056 32 × 2 = 0 + 0,548 240 416 112 64;
  • 26) 0,548 240 416 112 64 × 2 = 1 + 0,096 480 832 225 28;
  • 27) 0,096 480 832 225 28 × 2 = 0 + 0,192 961 664 450 56;
  • 28) 0,192 961 664 450 56 × 2 = 0 + 0,385 923 328 901 12;
  • 29) 0,385 923 328 901 12 × 2 = 0 + 0,771 846 657 802 24;
  • 30) 0,771 846 657 802 24 × 2 = 1 + 0,543 693 315 604 48;
  • 31) 0,543 693 315 604 48 × 2 = 1 + 0,087 386 631 208 96;
  • 32) 0,087 386 631 208 96 × 2 = 0 + 0,174 773 262 417 92;
  • 33) 0,174 773 262 417 92 × 2 = 0 + 0,349 546 524 835 84;
  • 34) 0,349 546 524 835 84 × 2 = 0 + 0,699 093 049 671 68;
  • 35) 0,699 093 049 671 68 × 2 = 1 + 0,398 186 099 343 36;
  • 36) 0,398 186 099 343 36 × 2 = 0 + 0,796 372 198 686 72;
  • 37) 0,796 372 198 686 72 × 2 = 1 + 0,592 744 397 373 44;
  • 38) 0,592 744 397 373 44 × 2 = 1 + 0,185 488 794 746 88;
  • 39) 0,185 488 794 746 88 × 2 = 0 + 0,370 977 589 493 76;
  • 40) 0,370 977 589 493 76 × 2 = 0 + 0,741 955 178 987 52;
  • 41) 0,741 955 178 987 52 × 2 = 1 + 0,483 910 357 975 04;
  • 42) 0,483 910 357 975 04 × 2 = 0 + 0,967 820 715 950 08;
  • 43) 0,967 820 715 950 08 × 2 = 1 + 0,935 641 431 900 16;
  • 44) 0,935 641 431 900 16 × 2 = 1 + 0,871 282 863 800 32;
  • 45) 0,871 282 863 800 32 × 2 = 1 + 0,742 565 727 600 64;
  • 46) 0,742 565 727 600 64 × 2 = 1 + 0,485 131 455 201 28;
  • 47) 0,485 131 455 201 28 × 2 = 0 + 0,970 262 910 402 56;
  • 48) 0,970 262 910 402 56 × 2 = 1 + 0,940 525 820 805 12;
  • 49) 0,940 525 820 805 12 × 2 = 1 + 0,881 051 641 610 24;
  • 50) 0,881 051 641 610 24 × 2 = 1 + 0,762 103 283 220 48;
  • 51) 0,762 103 283 220 48 × 2 = 1 + 0,524 206 566 440 96;
  • 52) 0,524 206 566 440 96 × 2 = 1 + 0,048 413 132 881 92;
  • 53) 0,048 413 132 881 92 × 2 = 0 + 0,096 826 265 763 84;
  • 54) 0,096 826 265 763 84 × 2 = 0 + 0,193 652 531 527 68;
  • 55) 0,193 652 531 527 68 × 2 = 0 + 0,387 305 063 055 36;
  • 56) 0,387 305 063 055 36 × 2 = 0 + 0,774 610 126 110 72;
  • 57) 0,774 610 126 110 72 × 2 = 1 + 0,549 220 252 221 44;
  • 58) 0,549 220 252 221 44 × 2 = 1 + 0,098 440 504 442 88;
  • 59) 0,098 440 504 442 88 × 2 = 0 + 0,196 881 008 885 76;
  • 60) 0,196 881 008 885 76 × 2 = 0 + 0,393 762 017 771 52;
  • 61) 0,393 762 017 771 52 × 2 = 0 + 0,787 524 035 543 04;
  • 62) 0,787 524 035 543 04 × 2 = 1 + 0,575 048 071 086 08;
  • 63) 0,575 048 071 086 08 × 2 = 1 + 0,150 096 142 172 16;
  • 64) 0,150 096 142 172 16 × 2 = 0 + 0,300 192 284 344 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 27(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 27(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 27(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 27 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1101 1111 0000 1100 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 912 71 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100