-0,000 282 005 913 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 3| = 0,000 282 005 913 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 6;
  • 2) 0,000 564 011 826 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 653 2;
  • 3) 0,001 128 023 653 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 306 4;
  • 4) 0,002 256 047 306 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 612 8;
  • 5) 0,004 512 094 612 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 225 6;
  • 6) 0,009 024 189 225 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 451 2;
  • 7) 0,018 048 378 451 2 × 2 = 0 + 0,036 096 756 902 4;
  • 8) 0,036 096 756 902 4 × 2 = 0 + 0,072 193 513 804 8;
  • 9) 0,072 193 513 804 8 × 2 = 0 + 0,144 387 027 609 6;
  • 10) 0,144 387 027 609 6 × 2 = 0 + 0,288 774 055 219 2;
  • 11) 0,288 774 055 219 2 × 2 = 0 + 0,577 548 110 438 4;
  • 12) 0,577 548 110 438 4 × 2 = 1 + 0,155 096 220 876 8;
  • 13) 0,155 096 220 876 8 × 2 = 0 + 0,310 192 441 753 6;
  • 14) 0,310 192 441 753 6 × 2 = 0 + 0,620 384 883 507 2;
  • 15) 0,620 384 883 507 2 × 2 = 1 + 0,240 769 767 014 4;
  • 16) 0,240 769 767 014 4 × 2 = 0 + 0,481 539 534 028 8;
  • 17) 0,481 539 534 028 8 × 2 = 0 + 0,963 079 068 057 6;
  • 18) 0,963 079 068 057 6 × 2 = 1 + 0,926 158 136 115 2;
  • 19) 0,926 158 136 115 2 × 2 = 1 + 0,852 316 272 230 4;
  • 20) 0,852 316 272 230 4 × 2 = 1 + 0,704 632 544 460 8;
  • 21) 0,704 632 544 460 8 × 2 = 1 + 0,409 265 088 921 6;
  • 22) 0,409 265 088 921 6 × 2 = 0 + 0,818 530 177 843 2;
  • 23) 0,818 530 177 843 2 × 2 = 1 + 0,637 060 355 686 4;
  • 24) 0,637 060 355 686 4 × 2 = 1 + 0,274 120 711 372 8;
  • 25) 0,274 120 711 372 8 × 2 = 0 + 0,548 241 422 745 6;
  • 26) 0,548 241 422 745 6 × 2 = 1 + 0,096 482 845 491 2;
  • 27) 0,096 482 845 491 2 × 2 = 0 + 0,192 965 690 982 4;
  • 28) 0,192 965 690 982 4 × 2 = 0 + 0,385 931 381 964 8;
  • 29) 0,385 931 381 964 8 × 2 = 0 + 0,771 862 763 929 6;
  • 30) 0,771 862 763 929 6 × 2 = 1 + 0,543 725 527 859 2;
  • 31) 0,543 725 527 859 2 × 2 = 1 + 0,087 451 055 718 4;
  • 32) 0,087 451 055 718 4 × 2 = 0 + 0,174 902 111 436 8;
  • 33) 0,174 902 111 436 8 × 2 = 0 + 0,349 804 222 873 6;
  • 34) 0,349 804 222 873 6 × 2 = 0 + 0,699 608 445 747 2;
  • 35) 0,699 608 445 747 2 × 2 = 1 + 0,399 216 891 494 4;
  • 36) 0,399 216 891 494 4 × 2 = 0 + 0,798 433 782 988 8;
  • 37) 0,798 433 782 988 8 × 2 = 1 + 0,596 867 565 977 6;
  • 38) 0,596 867 565 977 6 × 2 = 1 + 0,193 735 131 955 2;
  • 39) 0,193 735 131 955 2 × 2 = 0 + 0,387 470 263 910 4;
  • 40) 0,387 470 263 910 4 × 2 = 0 + 0,774 940 527 820 8;
  • 41) 0,774 940 527 820 8 × 2 = 1 + 0,549 881 055 641 6;
  • 42) 0,549 881 055 641 6 × 2 = 1 + 0,099 762 111 283 2;
  • 43) 0,099 762 111 283 2 × 2 = 0 + 0,199 524 222 566 4;
  • 44) 0,199 524 222 566 4 × 2 = 0 + 0,399 048 445 132 8;
  • 45) 0,399 048 445 132 8 × 2 = 0 + 0,798 096 890 265 6;
  • 46) 0,798 096 890 265 6 × 2 = 1 + 0,596 193 780 531 2;
  • 47) 0,596 193 780 531 2 × 2 = 1 + 0,192 387 561 062 4;
  • 48) 0,192 387 561 062 4 × 2 = 0 + 0,384 775 122 124 8;
  • 49) 0,384 775 122 124 8 × 2 = 0 + 0,769 550 244 249 6;
  • 50) 0,769 550 244 249 6 × 2 = 1 + 0,539 100 488 499 2;
  • 51) 0,539 100 488 499 2 × 2 = 1 + 0,078 200 976 998 4;
  • 52) 0,078 200 976 998 4 × 2 = 0 + 0,156 401 953 996 8;
  • 53) 0,156 401 953 996 8 × 2 = 0 + 0,312 803 907 993 6;
  • 54) 0,312 803 907 993 6 × 2 = 0 + 0,625 607 815 987 2;
  • 55) 0,625 607 815 987 2 × 2 = 1 + 0,251 215 631 974 4;
  • 56) 0,251 215 631 974 4 × 2 = 0 + 0,502 431 263 948 8;
  • 57) 0,502 431 263 948 8 × 2 = 1 + 0,004 862 527 897 6;
  • 58) 0,004 862 527 897 6 × 2 = 0 + 0,009 725 055 795 2;
  • 59) 0,009 725 055 795 2 × 2 = 0 + 0,019 450 111 590 4;
  • 60) 0,019 450 111 590 4 × 2 = 0 + 0,038 900 223 180 8;
  • 61) 0,038 900 223 180 8 × 2 = 0 + 0,077 800 446 361 6;
  • 62) 0,077 800 446 361 6 × 2 = 0 + 0,155 600 892 723 2;
  • 63) 0,155 600 892 723 2 × 2 = 0 + 0,311 201 785 446 4;
  • 64) 0,311 201 785 446 4 × 2 = 0 + 0,622 403 570 892 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 0110 0110 0010 1000 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 907 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100